WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа - Реферат

Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа - Реферат

Реферат на тему:

Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа

Арифметичним квадратним коренем з невід'ємного числа а називають невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають

Теорема.Серед раціональних чисел немає такого, яке дорівнювало б значенню

Припустимо протилежне. Нехай існує таке раціональне число, квадрат якого дорівнює 2. Це число можна подати у вигляді нескорочуваного дробу де — натуральні числа. Тоді Оскільки число — парне, то й число , що йому дорівнює також парне, а тому число — також парне (адже квадрат непарного числа є непарне число), тобто де — натуральне число. Підставивши цей вираз у рівність дістанемо Оскільки — парне число, то — також парне, тому і — парне число. Отже, і — парні числа, а це суперечить припущенню, що дріб нескоротний. Звідси випливає, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Таким чином, не є раціональним числом.

Це число називають ірраціональним. Ірраціональними числами є і т. ін.

Зауважимо, що до ірраціональних чисел належить число яке виражає відношення довжини кола до його діаметра.

У теоремі 1.10 доведено, що кожне раціональне число є нескінченним періодичним десятковим дробом. Було зазначено також, що будь-який періодичний десятковий дріб є поданням деякого раціонального числа.

Крім періодичних нескінченних десяткових дробів, існують неперіодичні дроби: такий, наприклад, дріб в якого після першої двійки одна одиниця, після другої — дві одиниці і т. д. Кожний неперіодичний нескінченний десятковий дріб де — ціла частина числа х; — десяткові знаки, є поданням деякого нового (не раціонального) числа, що називається ірраціональним. Множину всіх таких чисел називають множиною ірраціональних чисел.

Множиною дійсних чисел називають множину всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел. Таким чином, з'ясовується, що будь-яке дійсне число подається нескінченним десятковим дробом. Множина всіх дійсних чисел позначається R.

Дійсні числа впорядковано за величиною, тобто для будь-яких двох дійсних чисел і справджується лише одне і лише одне із співвідношень: Сенс нерівності між дійсними числами визначається правилом порівняння нескінченних десяткових дробів.

Для дійсного числа наближення з точністю до з недостачею і з надлишком визначаються так:

Очевидно, що

Додавання до десяткового дробу числа рівносильне збільшенню останньої цифри дробу на одиницю. Зауважимо, що кожне з десяткових наближень і дійсного числа є раціональним числом.

Приклад. Випишемо перші п'ять наближень (з недостачею та надлишком) для числа

Для дійсних чисел можна визначити арифметичні операції додавання і множення. Віднімання визначається як дія, обернена до додавання, а ділення — як дія, обернена до множення. Основні властивості арифметичних дій із цілими числами справеджуються і для дійсних чисел.

Визначимо суму і добуток двох дійсних чисел і Для їхніх наближень з недостачею та надлишком із точністю до справджуються такі нерівності

Сумою дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід'ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Добутком невід'ємних дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід'ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Дійсні числа можна зображати точками координатної осі.

Множину всіх дійсних чисел називають числовою віссю; вона зображається всією координатною прямою, її позначають (читається: "проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності").

Множина всіх чисел, що задовольняють подвійну нерівність називають числовим проміжком (або проміжком) і позначають (читається: "проміжок від до ".

Множину всіх чисел, що задовольняють нерівності і позначають відповідно (читається: "проміжок від до включаючи та "), [a; b) і (a; b].

Проміжок називають інтервалом, проміжок — відрізком або сегментом, а проміжки [a; b) і (a; b] — напівінтервалами.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве