WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття функціонального ряду - Реферат

Поняття функціонального ряду - Реферат

Формули, що подають функцію f(x) у вигляді степеневих рядів, мають вигляд:

(9.17)

(9.18)

Кажуть, що ряд Маклорена (9.17) дає розвинення функції в ряд поблизу точки х = 0, а ряд Тейлора (9.18) — поблизу точки х = с. Справді, як далі буде показано, чим ближче х до точки розвинення функції f(x) у ряд, тим меншою кількістю членів ряду буде досягнуто більшої точності при обчисленні f(x).

Теорема 15(достатня умова розвинення функції в ряд Маклорена). Якщо на проміжку похідні будь-якого порядку для функції f(x) обмежені одним і тим самим числом то на інтервалі функція f(x) може бути розвинена в ряд Маклорена). Іншими словами, ряд Маклорена для f(x) у кожній точці із збігається абсолютно.

Приклад. Розвинути в ряд за степенями х функцію .

 Знайдемо значення функції та її похідних при х = 0:

Оскільки , то для будь-якого фіксованого х маємо , тобто достатня умова розвинення функції у ряд Маклорена виконується і ряд Маклорена для неї буде абсолютно збіжним для .

Зауваження.Залишок ряду Маклорена можна замінити одним залишковим членом , який у формі Лагранжа такий:

(9.19)

Тоді ряд Маклорена (9.17) набирає вигляду формули Маклорена

(9.20)

Теорема 16. Для того щоб функцію f(x) можна було розвинути в ряд Маклорена на інтервалі , необхідно і достатньо, щоб на цьому інтервалі

Ряд Маклорена для деяких елементарних функцій

Область збіжності .

Інтервал збіжності (–1; 1). Область збіжності (–1; 1).

Область збіжності [–1; 1]. (9.21)

Використовуючи ці формули, можна у ряді випадків записати розвинення функції в ряд Маклорена без обчислення коефіцієнтів цього ряду (без обчислення похідних функцій).

Приклад. Розвинути в ряд Маклорена функцію і знайти область збіжності ряду.

Перетворимо функцію так: Скористаємось формулою розвинення в ряд Маклорена функції тоді дістанемо:

Область збіжності новоутвореного ряду для буде така ж, як і для , тобто .

Застосування рядів для наближених обчислень

Розвинення функцій у степеневі ряди використовується для наближеного обчислення значень функцій, визначених інтегралів, наближеного розв'язування рівнянь і т. ін. При цьому в ряді Маклорена чи Тейлора для даної функції залишають кілька перших членів (як правило, не більше трьох), а решту відкидають. Похибка при наближених обчисленнях являє собою суму відкинутих членів ряду — залишок ряду. Для оцінки похибки, якщо ряд знакосталий, залишок ряду порівнюють із рядом нескінченно спадної геометричної прогресії. Якщо ряд знакопочерговий, то за наслідком теореми Лейбніца похибка за абсолютною величиною не перевищує першого із відкинутих членів ряду.

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001: .

 Зробимо такі перетворення: . Скористаємось рядом Маклорена (9.21) для функції , узявши , . Тоді дістанемо:

За винятком першого члена дістали знакопочерговий ряд, він буде збіжним, бо . Похибка за абсолютною величиною буде меншою від першого із відкинутих членів. Послідовно обчислюємо: . Отже, щоб обчислити з точністю до 0,001, достатньо залишити три перші члени: .

Приклад. Розв'язати рівняння , обмежуючись двома членами ряду Маклорена для .

 Візьмемо , тоді дістанемо квадратне рівняння , яке має розв'язки х1 = 1, х2 = –2.

Рис. 9.4

Із рис. 9.4 видно, що х2 = –2 не буде розв'язком початкового рівняння.

Отже, рівняння має єдиний розв'язок, наближене значення якого х = 1.

Приклад. Обчислити .

 Замінимо ех і відповідними рядами Маклорена

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001.

 Оцінимо похибку наближеної рівності

(9.22)

Ця похибка визначиться залишком ряду

Якщо то за формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Отже, маємо таку оцінку залишку ряду

. (9.23)

За формулою (9.21) для обчислення маємо:

(9.24)

Оцінку похибки при обчисленні дістанемо, узявши в (9.23).

(9.25)

Знайдемо таке , щоб похибка була меншою за 0,01. Для цього в (9.25) послідовно покладемо

Отже, і для обчислення з точністю до 0,01 достатньо залишити в (9.24) тільки такі члени:

Ряд Фур'є

На практиці часто доводиться мати справу з періодичними процесами, що описуються кусково-гладкими функціями. Такі функції подають не степеневими, а тригонометричними рядами.

Означення.Функція називається такою, що задовольняє умови Діріхле на відрізку , якщо на цьому відрізку виконуються такі умови:

1. має скінченне число розривів першого роду;

2. має скінченне число екстремумів;

3. для .

Теорема 17. Функція , що задовольняє умови Діріхле на відрізку на інтервалі може бути визначена тригонометричним рядом Фур'є:

(9.26)

де коефіцієнти Фур'є та обчислюються за такими формулами:

Зауваження. Якщо функція — парна, то в (9.26) , а якщо — не парна, то .

Теорема 18 (ознака Діріхле). Якщо — періодична функція з періодом 2π задовольняє умови Діріхле на відрізку , то її ряд Фур'є збіжний, а його сума в точці х0 дорівнює:

1. якщо — неперервна в точці х0;

2. якщо — точка розриву для

Приклад. Розкласти функцію у ряд Фур'є на проміжку (0; 2π).

 Ця функція на відрізку задовольняє умови Діріхле, а тому ряд Фур'є на інтервалі (0; 2π) для неї існує. Обчислимо коефіцієнти Фур'є, узявши в (9.26):

Отже,

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.


 
 

Цікаве

Загрузка...