WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття функціонального ряду - Реферат

Поняття функціонального ряду - Реферат

Реферат на тему:

Функціональні ряди

Поняття функціонального ряду

Означення. Ряд

, (9.10)

де членами ряду є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х0 ряд (9.10) перетворюється на числовий

(9.11)

Якщо ряд (9.11) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х0збігається (розбігається) функціональний ряд (9.10).

Означення. Усі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду

,

де функція — сума ряду.

Ряд називається залишком ряду.

В області збіжності функціонального ряду виконується формула , де .

Означення. Ряд (9.11) збіжний для всіх х із області Х, називається рівномірно збіжним у цій області, якщо для будь-якого числа існує такий незалежний від х номер N, що при n > N виконується одночасно для всіх така нерівність:

Ознака Вейєрштрасса.Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів функціонального ряду, для всіх мажорується одним і тим самим збіжним числовим рядом, то функціональний ряд буде рівномірно збіжним для

Приклад. Дослідити характер збіжності ряду .

 Оскільки , тобто члени даного функціонального ряду для будь-якого х мажоруються членами збіжного числового ряду Діріхле , то за ознакою Вейєрштрасса даний ряд буде рівномірно збіжним для .

Властивості рівномірно збіжних рядів

1. Сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій є неперервна функція.

2. Якщо ряд (9.11) рівномірно збіжний на інтервалі (а; b) та існують границі

то виконується рівність

3. Якщо члени збіжного ряду (9.11) мають неперервні похідні для та ряд складений із похідних членів ряду (9.11) рівномірно збіжний для , то

4. Якщо члени ряду (9.11) неперервні, а сам ряд рівномірно збіжний для , то

У загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.

Приклад. Знайти область збіжності ряду

Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного ряду . Цей ряд буде знакододатний. Отже, маємо право застосовувати до нього ознаку Даламбера, при цьому х вважатимемо деяким параметром:

За ознакою Даламбера ряд буде збігатись, якщо

і розбігатись, якщо .

Залишається дослідити ряд на збіжність у точках х = 1 і х = 3. При х = 1 маємо ряд , а при х = 3 — ряд . Ці ряди розбігаються, бо, очевидно, для них не виконується необхідна умова збіжності. Таким чином, область збіжності функціонального ряду буде . У цій області ряд збігається абсолютно.

Степеневі ряди

Означення. Функціональний ряд

(9.12)

називається степеневим рядом, його загальний член ; числа називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду

(9.13)

Якщо в (9.13) візьмемо хс = у, то дістанемо ряд типу (9.12), тому властивості ряду (9.12) неважко перефразувати і для ряду (9.13).

Теорема 14 (Абеля). Якщо степеневий ряд (9.12):

1) збігається при х = х0, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність ;

2) якщо ряд (9.12) розбігається при х = х1, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівність .

Ілюстрацію до теореми Абеля наведено на рис. 9.2.

Рис. 9.2

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

Як наслідок із теореми Абеля для степеневого ряду (9.12) існує інтервал збіжності з центром у точці х = 0 (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Означення. Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок ряд є розбіжним; при цьому число R > 0 називається радіусом збіжності степеневого ряду.

Для узагальненого степеневого ряду (9.13) інтервал збіжності має центр симетрії в точці х = с.

Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х == –R, ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослідження в кожному випадку.

Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду (9.12). Для цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду (9.12):

(9.14)

Нехай існує границя . Тоді, застосовуючи ознаку Даламбера до ряду (9.14), дістаємо:

.

При ряд (9.14) збігається, а отже, ряд (9.12) збігається абсолютно; при ряд (9.14) розбігається. Розбіжність ряду, установлена за ознакою Даламбера, означає, що для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності: , а тому не виконується необхідна умова збіжності і для ряду (9.12) , і ряд (9.12) при буде також розбіжним. Отже, нерівність визначає інтервал збіжності ряду (9.12): . Радіус збіжності визначається за формулою

. (9.15)

Аналогічно, використовуючи радикальну ознаку Коші, можна дістати формулу для радіуса збіжності, степеневого ряду у вигляді: .

Зауваження.Формулами (9.1) і (9.16) можна користуватися лише в тих випадках, коли указані границі існують. У загальному випадку дослідження збіжності степеневого ряду виконується за такою самою методикою, що і для довільного функціонального ряду, наприклад такою, що була використана під час виведення формули радіуса збіжності (9.15).

Приклад. Знайти інтервал і радіус збіжності степеневого ряду .

 Порівнюючи загальні члени ряду (9.12) і досліджуваного ряду, знайдемо коефіцієнт степеневого ряду : . За формулою радіуса збіжності (9.15) маємо:

.

Тоді інтервал збіжності буде .

Приклад. Знайти область збіжності ряду

 Загальний член ряду можна записати так . Цей ряд містить не всі степені х, коефіцієнти , (n = 1, 2, 3, ...) дорівнюють нулю. Скористатися формулами для радіуса збіжності (9.15) чи (9.16) в даному випадку неможливо. Отже, будемо досліджувати ряд за загальною методикою дослідження функціональних рядів. Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного ряду , до якого застосуємо ознаку Даламбера

Знайдемо інтервал збіжності ряду (на цьому інтервалі ряд збігатиметься абсолютно): . Радіус збіжності буде: .

Проведемо дослідження збіжності ряду на кінцях інтервалу збіжності:

При . Одержали ряд Лейбніца, який умовно збігається.

При х = , . Маємо гармонічний ряд, який, як відомо, розбігається. Таким чином, буде областю збіжності ряду.

Диференціювання та інтегрування степеневих рядів

Степеневий ряд буде рівномірно збіжним на будь-якому відрізку із його інтервалу збіжності , а тому на такому відрізку його можна почленно диференціювати та інтегрувати, при цьому мають місце рівності:

Приклад. Знайти суму ряду

 Позначимо суму ряду через і знайдемо похідну : . Одержали ряд геометричної прогресії зі знаменником q = x і першим членом u1 = 1. Цей ряд буде збіжним при , а його сума має вигляд: . Розв'язуючи це диференціальне рівняння, дістаємо . Зауважимо, що формула справджується на інтервалі збіжності .

Зображення функцій степеневими рядами.Ряди Тейлора і Маклорена

Loading...

 
 

Цікаве