WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Числові ряди. поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності - Реферат

Числові ряди. поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності - Реферат

Реферат на тему:

Числові ряди. поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності

Основні поняття

Означення. Нехай — деяка нескінченна послідовність чисел. Побудований із цих чисел за допомогою знака "+" символ

(9.1)

називається нескінченним рядом (чи просто рядом), а самі числа — членами ряду; n-ий член un — називається загальним членом ряду.

Побудуємо частинні суми ряду:

(9.2)

Частинні суми ряду (9.2) утворюють числову послідовність: Надалі основним буде питання про збіжність послідовності частинних сум ряду. Таким чином, поняття ряду вводиться для побудови числових послідовностей спеціального виду — частинних сум ряду. Такі послідовності широко використовуються в математичному аналізі, наприклад, відоме число е можна подати таким рядом .

Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя послідовності частинних сум ряду

(9.3)

При цьому величина називається сумою ряду, а число

— (9.4)

залишком ряду. Якщо границя Sn не існує (нескінченна), то ряд називається розбіжним.

Приклад. Нехай ряд задано першими трьома членами . Знайти загальний член ряду і дослідити ряд на збіжність.

Загальний член ряду, як правило, знаходять методом перебирання варіантів, виходячи із аналізу заданих перших членів ряду з наступною перевіркою його правильності.

У даному прикладі чисельник кожного члена дорівнює одиниці, а знаменник є добутком трьох послідовних натуральних чисел. Вважатимемо, що . Тоді, беручи n послідовно таким, що дорівнює 1, 2, 3, ..., дістаємо члени ряду ; , чим упевнюємося, що загальний член ряду побудований правильно.

За допомогою методу невизначених коефіцієнтів un можна розкласти на такі дроби:

.

Часткова сума ряду Sn запишеться тоді так:

. Отже, ряд збігається, його сума .

У цьому прикладі збіжність ряду було встановлено безпосередньо за означенням, тобто обчислено . Для переважної більшості рядів обчислити неможливо, тому далі буде наведено такі методи й ознаки, за допомогою яких можна встановити збіжність ряду, не обчислюючи .

Деякі властивості збіжних рядів

Теорема 1. Якщо збігається ряд, то збігається його залишок; і навпаки, із збіжності залишку випливає збіжність ряду.

Наслідок 1.Із розбіжності ряду випливає розбіжність його залишку, і навпаки.

Наслідок 2.Якщо відкинути скінченну кількість перших членів ряду або додати до нього кілька нових членів, то це не вплине на його збіжність.

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с, то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на це число с:

.

Теорема 3. Збіжні ряди і можна почленно додавати або віднімати, при цьому ряд також збігається, а його сума буде .

Теорема 4. Послідовність частинних сум збіжного ряду обмежена. Це твердження випливає зі збіжності послідовності частинних сум ряду.

Теорема 5. Якщо ряд збігається, то границя його загального члена прямує до 0, тобто: .

Наслідок.Якщо , тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд розбігається.

Приклад: Перевірити виконання необхідної умови збіжності для ряду . Загальний член ряду . Розглянемо . Необхідна умова збіжності ряду не виконується. Ряд розбігається.

Ряд геометричної прогресії

Сума членів нескінченної геометричної прогресії є ряд виду

(9.5)

із загальним членом .

Ряд (9.5) збігається, якщо знаменник прогресії і його сума . Це випливає з таких міркувань:

;

Ряд геометричної прогресії буде розбіжним, якщо . У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності ряду, бо .

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

.

 Загальний член ряду можна записати так:

Отже, даний ряд можна записати у вигляді суми двох збіжних рядів геометричної прогресії . За теоремою 3, ряд збігається і його сума S дорівнює: .

Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами

Розглянемо ряд з додатними членами . Частинні суми ряду (9.2) утворюють при цьому монотонно зростаючу послідовність .

Теорема 6 (основна). Для того щоб ряд з додатними членами збігався, необхідно і достатньо, щоб усі його частинні суми були обмеженими.

Наслідок.Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність його частинних сум була необмеженою.

Теорема. 7 (ознака порівняння рядів). Якщо для рядів з додатними членами:

(9.6)

(9.7)

виконується умова то:

а) із збіжності ряду (9.7) випливає збіжність ряду (9.6);

б) із розбіжності ряду (9.6) випливає розбіжність ряду (9.7).

Означення. Якщо для рядів (9.6), (9.7) виконується умова , то ряд (9.7) називається мажорантним відносно ряду (9.6), а ряд (9.6) — мінорантним відносно ряду (9.7).

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

 Загальний член ряду . Зауважимо, що

.

Ряд порівняння збігається як ряд геометричної прогресії із . Значить, за ознакою порівняння (теорема 9.7) ряд — збігається.

Теорема 8(ознака порівняння в граничній формі). Якщо для рядів з додатними членами (9.6), (9.7) існує границя, то ряди (9.6) і (9.7) збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

 Загальний член ряду являє собою алгебраїчний вираз. Для того щоб цілеспрямовано вибрати ряд порівняння, побудуємо величину, еквівалентну при . Вибираємо ряд порівняння — гармонічний ряд, він є розбіжним. Обчислюємо

За ознакою порівняння (теорема 9.8) буде розбіжним і ряд

.

Теорема 9 (ознака Даламбера). Якщо для ряду з додатними членами існує границя тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

 Загальний член ряду . Побудуємо і розглянемо . За ознакою Даламбера ряд збігається.

Теорема 10 (ознака Коші (радикальна)). Якщо для ряду з додатними членами існує границя , тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

 Загальний член ряду .

.

За ознакою Коші (теорема 9.10) ряд збігається.

Теорема 11 (ознака Коші (інтегральна)). Якщо функція неперервна, додатна і монотонно спадає при то ряд і невластивий інтеграл збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле (узагальнений гармонічний ряд)

Loading...

 
 

Цікаве