WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Різницеві лінійні рівняння - Реферат

Різницеві лінійні рівняння - Реферат

Означення. Визначник

(8.92)

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k + 1 у визначнику (8.92), дістаємо рівняння для визначника Вронського:

.

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв'язування РР (8.90). Розглянемо спочатку РР першого порядку .

З рівняння при k = 0, 1, 2, ... дістаємо:

, , .

Виходячи з цього, РР (8.90) має частинний розв'язок.

Розв'язок (k = 0, 1, 2, ...) обмежений при a  1; прямує до нуля при k  +; якщо a  1; необмежено зростає за модулем при a  1.

Л. Ейлер запропонував шукати розв'язок РР (8.90) у вигляді yk = k,  = const (k = 0, 1, 2 ...). Число  називається мультиплікатором розв'язків РР (8.90).

Оскільки справджується рівність , , то для визначення мультиплікаторів дістанемо алгебраїчне рівняння

або

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

І. Якщо рівняння L() = 0 має n різних коренів 1, 2, ..., n, то загальний розв'язок РР (8.90) набирає вигляду .

Частинні розв'язки будуть лінійно незалежні, оскільки визначник Вронського

є визначником Вандермонда і відмінний від нуля при , .

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок РР.

.

 Мультиплікаторне рівняння має розв'язок у1 = 2, у2 = 3. Тому РР має загальний розв'язок .

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок РР

з початковими умовами у0 = 0, у1 = 1.

 Мультиплікаторне рівняння має комплексні корені , .

Загальний розв'язок в комплексній формі має вигляд

.

Цей розв'язок у дійсній формі має вигляд

.

Для визначення сталих С3, С4 дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

, .

З цієї системи рівнянь знаходимо , . Остаточно дістаємо частинний розв'язок , що задовольняє задані початкові умови.

ІІ. Якщо рівняння має корінь 1 кратності n1, то РР (8.90) має n1 лінійно незалежних частинних розв'язків

, , ..., .

Наведемо теорему про загальний розв'язок РР (8.90).

Теорема 7. Якщо мультиплікаторне рівняння має корені 1, ..., l кратності , то загальний розв'язок РР (8.90) подається у вигляді

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок РР

.

 Мультиплікаторне рівняння має трикратний корінь  = 2. Тому загальний розв'язок має вигляд

.

Будь-яке різницеве рівняння n-го порядку (8.90) можна записати у вигляді системи n рівнянь першого порядку виду

де А — матриця розміру

Приклад. Різницеве рівняння

.

Введемо позначення

.

При цьому дістанемо рівняння

які можна записати у вигляді системи РР

,

із системи РР знаходимо .

Звідси маємо загальний розв'язок системи РР:

.

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок системи РР

Знайдемо власні числа матриці А із рівняння

Знаходимо Будь-яка функція від матриці А подається формулою

Знайдемо матриці з функцією

Дістанемо:

Знаходимо фундаментальну матрицю розв'язків

і загальний розв'язок системи різницевих рівнянь:

Неоднорідне різницеве рівняння

Неоднорідне РР

(8.93)

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо використовувати метод варіації довільних сталих.

Загальний розв'язок неоднорідного РР (8.93) є сумою частинного розв'язку неоднорідного РР та загального розв'язку однорідного РР.

Найчастіше зустрічається РР

, (8.94)

де — многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.

Теорема 8. Якщо то рівняння (8.94) має частинний розв'язок виду , де деякий многочлен від k степеня q.

Якщо є коренем кратності m рівняння то РР (8.94) має частинний розв'язок виду

Многочлен можна знайти методом невизначених коефі-цієнтів.

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок РР .

 Частинний розв'язок шукаємо у вигляді .

Підставляючи у РР, дістаємо рівняння для визначення А, В:

,

з якого знаходимо , , .

Розв'язок РР (8.94) можна знайти у вигляді . При цьому приходимо до РР і розв'язок zk шукається у вигляді многочлена , де m — кратність кореня  рівняння .

Приклад. Шукаємо частинний розв'язок РР

.

 Узявши , дістанемо РР .

Шукаємо розв'язок zk у вигляді многочлена . Підставляючи zk, маємо

Економічна модель прискорення Самюельсона—Хікса

Споживання Ct через прибутки Yt виражається формулою

(8.95)

Вкладання Іt через прибутки Yt виражається формулою

(8.96)

Прибуток Yt у сучасний період є сума споживання Ct, вкладання Іt та постійних витрат А:

. (8.97)

Виключаючи Ct, Іt, дістаємо різницеве рівняння

(8.98)

Частинний розв'язок РР знаходимо у вигляді

Введемо розв'язок однорідного РР , який є різницею між розв'язком Yt і частинним сталим розв'язком . Однорідне РР

має мультиплікаторне рівняння . Найбільш цікавим для досліджень є випадок комплексно спряжених коренів, коли .

Тоді мультиплікатори мають вигляд

.

Розв'язок однорідного РР (8.98) є спадним, якщо .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве