WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Різницеві лінійні рівняння - Реферат

Різницеві лінійні рівняння - Реферат

Реферат на тему:

Різницеві лінійні рівняння

При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються. Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема, економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць, рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь. Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Оператор зсуву

Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):

. (8.67)

Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність

. (8.68)

Приклад. Справджуються такі рівності:

, , ,

.

Застосуємо символічний оператор диференціювання D, .

При цьому маємо рівність , , , .

Припустимо, що функції у(х), що зустрічаються в таких обчисленнях, можна подати рядами Тейлора. При цьому правильна рівність яку можна записати у вигляді символічної формули:

(8.69)

У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи

, (8.70)

Із попередніх формул (8.67) — (8.70) дістаємо рівність

,

На практиці користуємось функціями від оператора зсуву

, , (8.71)

які називаються операторами спадної і зростаючої різниць.

Маємо рівності , .

Із формули

, (8.72)

використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів k, що називаються спадними різницями порядку k

Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S через степені оператора .

(8.73)

Звідси знаходимо формули:

Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є сталими.

Приклад. Складемо таблицю різниць для функції при x0 = 0, h =1 (табл. 8.2):

Таблиця 8.2

xn

yn

yn

2yn

3yn

0

1

2

3

4

5

6

–1

–1

1

5

11

19

29

0

2

4

6

8

10

2

2

2

2

2

0

0

0

0

Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х).

Інтерполювання функцій,що задаються таблично

Якщо відоме значення функції у = у(х) для рівновіддалених значень аргументу, то для обчислення значень функції для проміжних значень аргументу використовуються інтерполяційні формули. З формули (8.68) знаходимо рівність .

Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу Грегорі—Ньютона:

. (8.74)

Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5.

 При xn = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5, у(3) = 6, 2у(3) = 2, 3у(3) = 0.

З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:

.

Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі—Ньютона

(8.75)

Використовуючи дискретні значення , можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор диференціювання:

. (8.76)

З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:

. (8.77)

Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у(4).

 Маємо .

З формули (8.77) знайдемо значення похідної

Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження похідної другого порядку:

.

Підсумовування функцій

Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду

. (8.78)

Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння

, . (8.79)

Підставляючи значення і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність

. (8.80)

Із рівняння (8.79) знайдемо оператор , обернений до оператора різниці .

Оператор називається оператором підсумовування і позначається символом . З формули (8.70), (8.71) знайдемо вираз для :

Звідси знаходимо розв'язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді розкладу:

(8.81)

Приклад. Знайдемо розв'язок різницевого рівняння

.

 З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз

.

Знайдемо вираз для суми

.

З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через визначений інтеграл:

(8.82)

Формула Ейлера пов'язує суму з визначеним інтегралом. На основі цієї формули можна вивести формули для знаходження визначених інтегралів:

(8.83)

Наведемо також формулу чисельного інтегрування Грегорі:

(8.84)

яка використовує тільки дискретні значення функції у (х).

Приклад. Обчислимо інтеграл від функції у = х2 – х – 1, заданий у табл. 8.2.

 Маємо значення різниць

По формулі (8.84) знаходимо значення інтеграла:

Лінійні різницеві рівняннязі сталими коефіцієнтами

Означення.Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

, (8.85)

де bi(i = 0, 1, 2 ..., n) — сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S (8.72), то можемо записати різницеве рівняння в рівносильній формі

(8.86)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі:

(k = 0, 1, 2, ...).

. (8.87)

Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву має таку властивість:

(8.88)

Далі, замість слів "різницеве рівняння" будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв'язків РР достатньо задати початкові умови:

. (8.89)

Означення. Розв'язком РР (8.86) називається послідовність , яка при підставлянні її в РР (8.86) перетворює його на тотожність.

Приклад. Покажемо, що послідовність yk = 2k є розв'язком РР (k = 0, 1, 2, ...). Підставляючи значення yk = 2k, yk+1 = 2k+1 в РР, дістаємо тотожність .

Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв'язків однорідного РР

(8.90)

1. Якщо РР (8.90) має частинні розв'язки yk = yk,1 (k = 0, 1, 2, ...), то воно має також розв'язок yk = k,1, C = const.

2. Якщо РР (8.90) має два розв'язки yk = yk,1, yk = yk,2, то воно має також розв'язок yk = yk,1 + yk,2. Звідси випливає, що РР має розв'язок:

Означення. Розв'язок РР (8.90) при а0  0.

(8.91)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2, ..., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (8.89).

Якщо yk (8.91) загальне рішення РР (8.90), то система лінійних алгебраїчних рівнянь завжди має розв'язок відносно сталих С1, С2, ..., Сn.

Loading...

 
 

Цікаве