WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні диференціальні рівняння - Реферат

Лінійні диференціальні рівняння - Реферат

Рис. 8.5

 Коливання маятника описуються ДР

. (8.52)

При малих коливаннях . Лініаризуємо ДР і приходимо до ДР зі сталими коефіцієнтами:

, (8.53)

У рівнянні (8.52) t — час, — кут відхилення маятника,g = 9,8 м/с2 — прискорення вільного падіння. Характеристичне рівняння має корені , . ДР (8.53) має загальний розв'язок . Цей розв'язок має період .

Розв'язування системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

ДР (8.49) завжди можна звести до системи рівнянь виду

(8.54)

Загальний розв'язок системи рівнянь (854) має вигляд

де — довільні сталі. Система рівнянь

визначає s-й частинний розв'язок системи рівнянь (8.54). Ці розв'язки будуть лінійно незалежні, якщо

Матриця Ф(х) називається фундаментальною матрицею розв'язків. Загальний розв'язок можна записати у векторній формі

Систему рівнянь (8.54) часто можна звести до одного ДР n-го порядку, що можна використати для розв'язання системи ДР.

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок системи ДР

Виключимо змінну Підставляючи y2 у друге ДР, отримаємо рівняння

яке можна записати у вигляді

Характеристичне рівняння має корені Тому ДР має розв'язок

З рівняння знаходимо

Зрештою знаходимо загальний розв'язок системи ДР

Задача Коші полягає у знаходженні розв'язку системи (8.54) , що задовольняє умови

. (8.55)

Розв'язок системи (8.54) знаходиться у вигляді

.

Для знаходження дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

. (8.56)

Ця однорідна система має ненульовий розв'язок, якщо визначник системи дорівнює нулю

. (8.57)

Це рівняння називається характеристичним. Його коренями є власні числа матриці .

Якщо рівняння (8.57) має різні корені , то система рівнянь (8.54) має n різних розв'язків і загальний розв'язок

Вектори є власними векторами матриці А.

Випадок, коли рівняння (8.57) має кратні корені, тут не розглядається через його складність.

Систему рівнянь (8.54) можна записати у векторній формі , яка має розв'язок

.

Матриця є фундаментальною матрицею розв'язків системи ДР

Зауваження. Якщо власні числа матриці А розміру різні, то будь-яка функція від матриці А має вигляд

де — сталі матриці, які не залежать від виду функції А. Ці матриці є проекторами і задовольняють умови:

Якщо — власні вектори матриці А, то будь-який вектор Х можна розкласти за базисом і подати у вигляді

Приклад. Знайдемо фундаментальну матрицю розв'язків системи лінійних ДР

Матриця А має власні числа Будь-яка функція від матриці А має вигляд

Візьмемо функції і дістанемо рівність

звідки знайдемо проектори

Знайдемо тепер матрицю за допомогою функції

Нарешті знаходимо фундаментальну матрицю рішення

Розв'язування неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами і зі спеціальною правою частиною

Найчастіше треба шукати частинний розв'язок лінійного диференціального рівняння зі спеціальною правою частиною

(8.58)

Запишемо рівняння (8.58) в операторній формі, узявши

,

де D — оператор диференціювання, . Якщо позначити , то рівняння (8.58) можна записати

, (8.59)

де — деякий многочлен степеня k. Відомо, що диференціальний оператор L (D) задовольняє рівність

(8.60)

Якщо в рівнянні (8.59) візьмемо , то згідно з рівнянням (8.60) дістанемо зі сталими коефіцієнтами для змінної Z:

. (8.61)

Розкладемо рівняння (8.61) за степенями D

(8.62)

Якщо , то частинний розв'язок рівняння (8.62), (8.58) можна знайти у вигляді многочлена степеня k:

(8.63)

Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності m, то рівняння (8.62) набирає вигляду

(8.64)

і частинний розв'язок рівняння (8.64), (8.58) можна знайти у вигляді

(8.65)

Многочлен може бути знайдений методом невизначених коефіцієнтів. Здобутий результат сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема 6. Якщо число є коренем кратності m (m = 0, 1, 2, ...) характеристичного рівняння , то частинний розв'язок рівняння (8.58) можна знайти у вигляді

(8.66)

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок ДР

 Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді З рівняння знаходимо змінну у .

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок ДР

.

 Відшукаємо розв'язок у вигляді суми із ДР

Використаємо операторний запис ДР

Візьмемо і знайдемо ДР

і частинний розв'язок початкового ДР

Існує багато операторних методів розв'язування лінійних диференціальних рівнянь. Одним із важливих методів є операційне числення, що ґрунтується на застосуванні перетворення Лапласа [6]

.

Наведемо операторний спосіб знаходження частинного розв'язку ДР зі сталими коефіцієнтами , де — многочлен степеня k. Записуємо розв'язок у вигляді і розкладаємо оператор за степенями D.

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок ДР

.

 Розв'язок цього рівняння можна записати у вигляді

.

Оператор — оператор інтегрування за допомогою попередньої формули. Знаходимо частинний розв'язок ДР:

Цей частинний розв'язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів, шукаючи розв'язок у вигляді .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве