WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні диференціальні рівняння - Реферат

Лінійні диференціальні рівняння - Реферат

Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. ДР виду

називається лінійним ДР n-го порядку. Якщо то ДР називається однорідним, якщо то ДР називається неоднорідним.

Для лінійних ДР використовують операторний спосіб запису. Візьмемо і т.д.

D називається оператором диференціювання, або диференціювальним оператором.

ДР можна подати у вигляді

Введемо диференціювальний оператор

Тоді ДР можна записати у вигляді

Теорема 2. Якщо — частинні розв'язки однорідного лінійного ДР то будь-яка лінійна комбінація цих розв'язків також є частинним розв'язком лінійного ДР

Функції називають лінійно незалежними, якщо з рівності

випливає, що Функції називаються лінійно залежними, якщо одна з них є лінійною комбінацією решти, наприклад:

Приклад. Функції є лінійно залежними, оскільки

Теорема 3. Якщо n функцій мають похідні до -го порядку включно, то ці функції будуть лінійно незалежними, якщо визначник Вронського для них

не дорівнює тотожно нулю.

Означення. Якщо — лінійно незалежні розв'язки лінійного однорідного ДР то вони називаються базисом або фундаментальною системою розв'язків лінійного ДР.

Теорема 4. Якщо — фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного ДР n-го порядку, то однорідне ДР має загальний розв'язок

де — довільні сталі.

Теорема 5. Якщо — частинний розв'язок лінійного неоднорідного ДР то загальний розв'язок неоднорідного ДР має вигляд

де — загальний розв'язок однорідного лінійного ДР

Якщо відомий загальний розв'язок однорідного лінійного ДР, то знайдений частинний розв'язок неоднорідного лінійного ДР завжди можна звести до квадратур, тобто до інтегрування скінченної кількості відомих функцій.

Найкраще вивчено властивості лінійних ДР, тому вони частіше за все використовуються на практиці. Часто нелінійні ДР замінюються близькими до них лінійними ДР. Загальні властивості розв'язків лінійного ДР розглянемо на прикладі лінійного ДР другого порядку

(8.38)

ДР (8.38) називається однорідним, якщо і неоднорідним, якщо . Неоднорідне рівняння завжди може бути розв'язане, якщо знайдено загальний розв'язок однорідного рівняння. Отже, розглядаємо в подальшому властивості розв'язків однорідного лінійного ДР.

Загальні властивості розв'язківоднорідного лінійного ДР

І. Нехай відомі два частинні розв'язки ДР

(8.39)

Тоді їх сума теж є розв'язком ДР.

ІІ. Якщо відомий частинний розв'язок ДР , тоді функція , теж є розв'язком ДР.

Наслідок.Якщо відомі два частинні розв'язки ДР, то функція теж є розв'язком ДР.

Означення.Два розв'язки ДР (8.39) називаються лінійно незалежними, якщо .

Два розв'язки (8.39) називаються лінійно залежними, якщо .

Означення. Функціональний визначник

(8.40)

називається визначником Вронського.

ІІІ. Якщо два розв'язки (8.39) лінійно залежні, то їхній визначник Вронського тотожно дорівнює нулеві.

ІV. Для визначника Вронського (8.40) виконується формула Ліувілля—Остроградського

(8.41)

Наслідок.Якщо визначник Вронського перетворюється у деякій точці в нуль, а — неперервна функція, то

V. Якщо визначник Вронського (8.40) дорівнює нулю, то розв'язки — лінійно залежні.

 Справді, нехай . Це означає, що

, , , .

VI. Якщо два розв'язки ДР (8.39) лінійно незалежні, то лінійні однорідні ДР мають загальний розв'язок

(8.42)

Для розв'язування задачі Коші з початковими умовами

,

дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для С1, С2

(8.43)

з визначником . Отже, система рівнянь (8.43) завжди має розв'язок.

VII. Якщо відомий один частинний розв'язок ДР, тоді другий розв'язок знаходиться квадратурою.

Нехай відомий розв'язок . Із формули (8.41)

знаходимо

Інтегруючи це рівняння, дістаємо інший зв'язок:

. (8.44)

Приклад. Лінійне ДР має розв'язок . Із формули (8.44) знаходимо другий частинний розв'язок ДР:

.

VIII. Якщо відомі два лінійно незалежні розв'язки однорідного ДР, то розв'язування неоднорідного ДР (8.38) може бути зведене до квадратур.

Для знаходження частинного розв'язку неоднорідного ДР використовується метод варіації довільних сталих. Проілюструємо його на прикладі.

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок ДР

, (8.45)

якщо відомі частинні розв'язки однорідного ДР ,

 Однорідне рівняння має загальний розв'язок

Шукаємо розв'язок неоднорідного рівняння у вигляді

. (8.46)

Знайдемо похідну

Для спрощення обчислень візьмемо

(8.47)

Далі знаходимо похідну другого порядку

Згідно з (8.45) дістаємо рівняння

. (8.48)

Із рівнянь (8.47), (8.48) знаходимо рівняння для похідних , : , та функції , :

, ,

де С3, С4 — нові довільні сталі. Остаточно маємо розв'язок неоднорідного рівняння (8.45):

.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Л. Ейлер розробив загальний метод розв'язування лінійних ДР зі сталими коефіцієнтами

. (8.49)

Загальний розв'язок ДР має вигляд

. (8.50)

Частинні розв'язки лінійно незалежні, якщо визначник Вронського

Частинні розв'язки шукатимемо у вигляді :

.

Для відшукання сталої величини р маємо рівняння

. (8.51)

Рівняння (8.51) називається характеристичним, а його корені називаються характеристичними показниками. Якщо всі корені рівняння (8.51) різні, то рівняння (8.49) має лінійно незалежні частинні розв'язки і загальний розв'язок .

Приклад. Знайдемо загальні розв'язки ДР .

 Характеристичне рівняння має корені , , . Загальний розв'язок має вигляд .

Визначник Вронського для частинних розв'язків

, ,

відмінний від нуля: .

Отже, частинні розв'язки лінійно незалежні.

Якщо характеристичне рівняння має комплексний корінь , , то ДР має комплексний частинний розв'язок

.

Якщо характеристичне рівняння має комплексно спряжені корені , , то із комплексних частинних розв'язків

можна дістати дійсні частинні розв'язки

, .

Якщо характеристичне рівняння (8.49) має корені р0 кратності m, то , , , і ДР (8.49) має лінійно незалежні частинні розв'язки:

, , .

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР

.

 Характеристичне рівняння має трикратний корінь . ДР має лінійно незалежні частинні розв'язки , , .

Загальний розв'язок ДР подається виразом

.

Приклад. Знайдемо період коливань математичного маятника довжиною l (рис. 8.5).

Loading...

 
 

Цікаве