WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку - Реферат

Оскільки виконується тотожність, то для відшукання z маємо однорідне ДР

Отже, справджується така теорема:

Теорема 1. Загальний розв'язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв'язку неоднорідного ДР і загального розв'язку однорідного ДР.

Приклад. Лінійне ДР.

має частинний розв'язок Однорідне ДР має загальний розв'язок . Загальний розв'язок неоднорідного ДР дорівнює сумі

Звичайно використовують такі три методи розв'язування лінійного неоднорідного ДР.

І. Метод Бернуллі.

Розв'язок ДР (8.29) шукаємо у вигляді добутку двох функцій Підставляючи, дістаємо рівняння

Зведемо це рівняння до системи ДР:

Із першого рівняння знаходимо змінну v:

Із другого рівняння знаходимо змінну u:

Остаточно маємо розв'язок у вигляді

(8.30)

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР

 Розв'язок шукаємо у вигляді добутку функцій Підставляючи, дістаємо рівняння

Зведемо це рівняння до системи ДР:

Із першого рівняння знаходимо:

Із другого рівняння маємо:

Знаходимо розв'язок:

ІІ. Метод Ейлера.

Домножуємо рівняння (8.29) на інтегрувальний множник Дістаємо ДР

Нехай ДР набирає вигляду:

.

Остаточно приходимо до розв'язку виду (8.30):

Приклад. Знайдемо розв'язок ДР

 Помножимо ДР на інтегрувальний множник μ:

і візьмемо При цьому дістанемо ДР:

Знайдемо інтегрувальний множник з ДР:

Початкове лінійне ДР набирає вигляду і має загальний розв'язок

ІІІ. Метод Лагранжа

Лагранж запропонував загальний метод розв'язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв'язується однорідне ДР. У загальний розв'язок входять довільні сталі. Потім шукається загальний розв'язок неоднорідного ДР і при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.

Шукатимемо розв'язок неоднорідного ДР (8.29).

Спочатку розв'яжемо однорідне ДР . Загальний розв'язок має вигляд . Шукаємо розв'язок неоднорідного ДР у вигляді Підставляючи в ДР (8.28), дістаємо рівняння

.

Приходимо до простого ДР

і загального розв'язку неоднорідного ДР виду (8.30):

Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.

Приклад. Знайдемо за методом Лагранжа розв'язок неоднорідного лінійного ДР

 Спочатку знайдемо загальний розв'язок однорідного ДР:

Шукаємо розв'язок неоднорідного ДР у вигляді .

Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо

або

Використаємо формулу інтегрування частинами:

Отже, остаточно дістанемо загальний розв'язок ДР:

До лінійного ДР зводиться ДР Бернуллі

Вводиться нова змінна , і ДР для z набирає вигляду ДР

Зниження порядку деяких диференціальних рівнянь другого порядку

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд

Загальний розв'язок рівняння містить дві довільні сталі:

(8.32)

і за рахунок вибору довільних сталих можна розв'язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв'язку , що задовольняє початкові умови

Для ДР другого порядку частіше зустрічається на практиці крайова задача, коли умова на шуканий розв'язок задається при різних значеннях аргументу.

У деяких випадках можна знизити порядок ДР другого порядку (8.31) і звести до ДР першого порядку.

І. У ДР відсутня шукана функція. ДР виду

(8.33)

зводяться до ДР першого порядку, якщо візьмемо Дістанемо ДР першого порядку

(8.34)

Якщо буде знайдено загальний розв'язок цього рівняння то дістанемо

Якщо ДР другого порядку має вигляд то беремо і дістаємо ДР першого порядку з відокремлюваними змінними:

Приклад. Розв'яжемо ДР другого порядку

 При дістанемо ДР першого порядку:

Знайдемо загальний розв'язок ДР другого порядку:

Приклад. Розв'яжемо ДР

 Вважаючи, що знижуємо порядок і приходимо до ДР першого порядку:

Інтегруючи z, дістаємо загальний розв'язок ДР другого порядку:

ІІ. ДР не містить явно аргументу. Порядок ДР

(8.35)

можна знизити, якщо за нову незалежну змінну візьмемо у, а за нову залежну змінну —

Дістаємо рівність:

Остаточно приходимо до ДР першого порядку

Якщо знайдемо загальний розв'язок цього рівняння, то для пошуку загального розв'язку ДР (8.36) дістанемо рівняння:

.

Якщо ДР другого порядку має вигляд то приходимо до ДР першого порядку з відокремлюваними змінними:

Визначивши знаходимо у з ДР першого порядку

Приклад. Знайти загальний розв'язок ДР другого порядку

 Узявши дістанемо і прийдемо до ДР першого порядку .

Знаходимо змінну і приходимо до ДР першого порядку розв'язуючи яке, дістаємо:

ІІІ. ДР є однорідним відносно шуканої функції та її похідних, тобто

(8.36)

В однорідному рівнянні другого порядку узявши

(8.37)

прийдемо до ДР першого порядку виду

Якщо знайдено загальний розв'язок цього ДР то далі маємо:

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок однорідного ДР

 Використовуючи заміну (8.37), приходимо до ДР першого порядку

звідки Із ДР знаходимо загальний розв'язок

Диференціальне рівняння n-го порядку

У загальному випадку ДР n-го порядку має вигляд

Загальний розв'язок ДР залежить від n довільних сталих і має вигляд

Задача Коші полягає у знаходженні частинного розв'язку y(x), що задовольняє початкові умови:

де — наперед задані значення.

Деякі ДР можуть бути зінтегровані в квадратурах, тобто знаходження загального розв'язку зводиться до інтегрування відомих функцій.

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР третього порядку

 Позначивши дістаємо ДР першого порядку розв'язуючи яке маємо:

Беручи приходимо до ДР першого порядку яке інтегрується, у квадратурах:

Остаточно знаходимо загальний розв'язок:

Для знаходження частинного розв'язку задаємо початкові умови:

З попередніх рівнянь знаходимо і отримуємо частинний розв'язок ДР третього порядку:

Аналогічно може бути розв'язане ДР n-го порядку виду

З рівняння знайдемо а далі зінтегруємо рівняння за х.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве