WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку - Реферат

Аналогічно знаходимо наближено точки на інтегральній кривій за формулою:

(8.8)

Ця формула називається чисельним методом інтегрування Ейлера.

Існують і точніші методи:

,

(8.9)

де

Формули (8.9) називаються екстраполяційними методами Адамса.

Наведемо точніші формули, якими подаються інтерполяційні методи Адамса:

(8.10)

Через R позначено похибку чисельного методу, де — похідна k-го порядку точного розв'язку ДР.

Найчастіше на практиці користуються методами типу Рунге—Кутта. Наведемо один із найчастіше використовуваних методів Рунге—Кутта, який має похибку ,

(8.11)

Приклад. Знайдемо чисельний розв'язок ДР за методом Ейлера (8.8), Адамса (8.9), Рунге—Кутта (8.11) при h = 0,2.

Розв'язок наведено у вигляді таблиці.

Таблиця 8.1

х0

Метод Ейлера

Метод Адамса

МетодРунге—Кутта

Точний розв'язок

0.0

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

0.1

1.10000

1.10500

1.10517

0.2

1.21000

1.22115

1.22140

1.22140

0.3

1.33100

1.34977

1.34986

0.4

1.46410

1.49174

1.49182

1.49182

0.5

1.61051

1.64861

1.64872

0.6

1.77156

1.82199

1.82211

1.82212

0.7

1.94872

2.01361

2.01375

0.8

2.14359

2.22537

2.22552

2.22554

0.9

2.35795

2.45941

2.45960

1.0

2.59374

2.71806

2.71825

2.71828

Інший спосіб знаходження наближеного розв'язку полягає у застосуванні розкладу шуканого розв'язку за відомими функціями. У частинному випадку розв'язок можна шукати у вигляді степеневого ряду.

Приклад. Шукаємо розв'язок ДР у вигляді степеневого ряду

 Підставивши ряд у ДР та враховуючи початкові умови, дістанемо систему рівнянь із якої знаходимо шуканий розв'язок ДР:

Ефективним методом побудови наближеного розв'язку ДР є метод Пікара. ДР зводимо до інтегрального рівняння. Для цього ДР інтегруємо:

а потім розв'язуємо методом послідовних наближень:

Приклад. Розв'язати ДР

 Розв'язуємо інтегральне рівняння методом послідовних наближень:

.

Переходячи до границі при , дістаємо розв'язок у вигляді ряду .

Диференціальне рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Означення. ДР виду

(8.12)

називається ДР з відокремленими змінними. Загальний розв'язок ДР подається так:

(8.13)

а розв'язок задачі Коші з початковими умовами має вигляд

(8.14)

ДР з відокремленими змінними зводиться до квадратури, тобто до знаходження інтегралів.

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР

 Інтегруючи, дістаємо інтеграл ДР

Інтегральними кривими є концентричні кола з центром у початку координат.

Означення. Диференціальне рівняння виду

(8.15)

називається ДР з відокремлюваними змінними, тобто рівнянням, що зводяться до ДР з відокремленими змінними.

Поділивши рівняння (8.15) на дістанемо ДР з відокремленими змінними:

(8.16)

Рівняння (8.15) має розв'язок де є розв'язками рівнянь

Аналогічно ДР виду

(8.17)

є ДР з відокремлюваними змінними. Рівняння (8.17) можна записати у вигляді (8.12):

(8.18)

Рівняння (8.17) має розв'язок виду де

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР

 Запишемо рівняння у вигляді

або

Однорідне диференціальне рівняння

Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді

(8.19)

Воно за допомогою заміни змінної зводиться до ДР з відокремлюваними змінними а знаходження розв'язку зводиться до квадратур

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР .

 Узявши , дістанемо ДР і його загальний розв'язок

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок ДР .

 Візьмемо і одержимо ДР для змінної

.

Інтегруючи ДР з відокремленими змінними, знаходимо загальний розв'язок:

Однорідне ДР не змінюється при перетворенні подібності:

(8.20)

ДР перетворюється на ДР .

При перетворенні подібності (8.20) інтегральні криві рівняння (8.19) знову переходять в інтегральні криві рівняння (8.19). Усі інтегральні криві однорідного ДР подібні з центром подібності в початку координат. Якщо будь-яка інтегральна крива, що лежить в деякому секторі, входить у початок координат, то всі інтегральні криві в цьому секторі теж входять у початок координат. Якщо одна із інтегральних кривих замкнена, то всі інтегральні криві замкнені.

Приклад. Побудуємо інтегральні криві однорідного ДР

 Скориставшись заміною дістанемо ДР:

Рис. 8.6

Остаточно знаходимо інтеграл ДР:

Інтегральні криві є колами, що проходять через початок координат (рис. 8.6). Усі інтегральні криві замкнені і входять у початок координат.

Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Означення. Диференціальне рівняння або

(8.21)

називається ДР у повних диференціалах. Це ДР має інтеграл

(8.22)

ДР виду

(8.23)

є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність

(8.24)

При цьому знаходимо функцію із рівнянь

(8.25)

В окремому випадку можна скористатись формулою

(8.26)

Значення можуть бути довільними числами.

Розв'язок задач Коші з початковими умовами визначається рівнянням де подається формулами (8.26).

Приклад. Розв'яжемо ДР .

 Перевіримо спочатку виконання умови (8.24):

.

Умова (8.24) виконується, і знаходимо функцію із рівнянь (8.26). При маємо

Отже, ДР має інтеграл

Л. Ейлер довів, що для будь-якого ДР першого порядку

для якого не виконується умова (8.24), існує інтегрувальний множник такий, що ДР є ДР у повних диференціалах. Із умови виду (8.24)

(8.28)

шукаємо інтегрувальний множник , а потім інтегруємо рівняння (8.27).

Приклад. Знайдемо інтегрувальний множник для ДР

.

 Маємо:

Умова (8.24) не виконується. Розглядуване ДР не є рівнянням у повних диференціалах. Складемо рівняння (8.28).

Припустимо, що інтегрувальний множник  залежить тільки від х. Дістанемо рівняння Домножимо початкове ДР на х і дістанемо рівняння в повних диференціалах: , яке легко зінтегрувати:

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Диференціальні рівняння виду

(8.29)

називається лінійним ДР. Якщо , то ДР є однорідним. Якщо , то ДР називається неоднорідним.

Однорідні рівняння інтегруються у квадратурах, як ДР із відокремленими змінними:

, .

Нехай відомий частинний розв'язок неоднорідного ДР.

Шукаємо загальний розв'язок неоднорідного ДР у вигляді .

Loading...

 
 

Цікаве