WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння першого порядку - Реферат

Диференціальні рівняння першого порядку - Реферат

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку

Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

Далі замість слів "диференціальні рівняння" використовуватимемо позначення ДР.

Приклад.

— ДР першого порядку;

— ДР другого порядку;

— ДР третього порядку.

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними

має розв'язок

який називається функцією Кобба—Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням

(8.1)

Це — ДР рівняння, що не розв'язане відносно похідної. Якщо рівняння (8.1) можна розв'язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у вигляді

. (8.2)

Це ДР рівняння, що розв'язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді або .

Якщо є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

(8.3)

Означення. Розв'язком ДР називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР

і має розв'язок

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

Приклад. ДР має розв'язок .

 Справді, . Підставивши в рівняння, дістанемо тотожність

Звичайно, ДР має нескінченну множину розв'язків. Так, попереднє рівняння має розв'язок , де С — довільний параметр.

Задача Коші

Розглянемо ДР .

Означення.Задача пошуку розв'язку , що задовольняє умови

при (8.4)

називається задачею Коші. Умови (8.4) називаються початковими умовами, числа називаються початковими значеннями.

Теорема існування та єдиності розв'язків

Нехай функція неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:

(8.5)

тоді при існує єдиний розв'язок ДР, який задовольняє початкові умови (8.4) .

Якщо в області D виконуються умови теореми існування та єдності, то через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива. Задача Коші полягає у знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку .

Умови (8.5) можна замінити іншою умовою:

(8.6)

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв'язків ДР, називаються особливими. Розв'язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв'язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

то точка є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Приклад. Розглянемо ДР яка має особливу (0; 0). Розв'яжемо ДР

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

Розглянемо ДР .

Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв'язком ДР, якщо функція є розв'язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв'язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння розв'язується відносно С. Розв'язок при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв'язком.

Приклад. ДР має загальний розв'язок

 Справді, маємо тотожність:

При довільних початкових значеннях , знаходимо значення довільної сталої С

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загальний розв'язок називається розв'язком у формі Коші.

Приклад. ДР має розв'язок у формі Коші.

Означення. Задача знаходження розв'язків ДР називається інтегруванням ДР. Самий розв'язок називається також інтегралом ДР. Назва пояснюється розв'язуванням найпростішого ДР

Загальний розв'язок може бути знайдений у неявній формі: Тоді ця рівність називається інтегралом ДР. Функція також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв'язок ДР подається неявним рівнянням то рівняння називається загальнимінтегралом ДР.

Розв'яжемо диференціальне рівняння

Рівняння можна записати у вигляді

Звідси знаходимо інтеграл ДР

Розглянемо детальніше питання про особливі розв'язки. Точки, в яких існує не єдиний розв'язок ДР можуть бути точками розриву функцій а також точками, в яких загальний інтеграл ДР не розв'язуваний відносно с, тобто Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають дискримінантними кривими.

Приклад. Розв'яжемо ДР

 Його можна записати у вигляді

ДР має загальний інтеграл і загальний розв'язок

Шукаємо особливі розв'язки з умови

Знаходимо

Дискримінантна крива y = 0 є розв'язком ДР, але не є частинним розв'язком. Цей особливий розв'язок можна було знайти з умови, що частина похідна має розрив при y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 8.2.

Рис. 8.2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

Приклад. ДР має загальний розв'язок і загальний інтеграл

З умови знаходимо дискримінантну кривух = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР зображено на рис. 8.3.

Рис. 8.3

8.1.3. Сім'я кривих

Означення. Множина кривих, залежних від параметра, називається сім'єю кривих. Нехай сім'я кривих описується рівнянням Якщо виключимо С із системи рівнянь

, (8.7)

то дістанемо ДР сім'ї кривих.

Приклад. Розглянемо множину прямих, що проходять через початок координат (рис. 8.4).

Рис. 8.4

Виключимо параметр С із системи рівнянь

Дістанемо ДР Це рівняння має особливу точку (0, 0).

Задачу інтегрування ДР першого порядку можна розглядати як задачу пошуку рівняння сім'ї кривих за ДР, яке описує цю сім'ю.

Для наближеного знаходження сім'ї інтегральних кривих використовується графічний метод. ДР першого порядку задає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в кожній точці (х, у).

Якщо в кожній точці (х, у) визначений напрям деякого вектора, то кажуть, що задано поле напрямів. ДР задає поле напрямів дотичних. Ці лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклінами. Рівняння ізоклін Побудувавши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні криві.

Приклад. Побудуємо графічно сім'ю інтегральних кривих для ДР

 Ізокліни мають рівняння Побудуємо графіки ізоклін і проведемо наближено інтегральні криві (рис. 8.5).

Загальний розв'язок рівняння має вигляд

Рис. 8.5

8.1.4. Наближені методи розв'язування

Для чисельного знаходження інтегральної кривої, що проходить через задану точку , існує багато методів. Найпростіший метод запропонував Л. Ейлер.

Вводимо дискретні значення аргументу х.

Параметр h називається кроком дискретизації, або кроком інтегрування. У точці інтегральна крива замінюється дотичною з кутовим коефіцієнтом Підставивши знаходимо із рівняння наближене значення у1 змінної у:

Loading...

 
 

Цікаве