WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Узагальнення поняття інтеграла - Реферат

Узагальнення поняття інтеграла - Реферат

(7.43)

У разі переходу до системи полярних координат за формулами

(7.44)

якобіан переходу буде таким:

(7.45)

У цьому випадку формула (7.43) матиме такий вигляд:

(7.46)

Зауваження.Визначений інтеграл береться на орієнтованому проміжку , адже . Якщо у випадку подвійних інтегралів розглядати орієнтовані області, площа яких залежно від їхньої орієнтації може бути відповідно додатною або від'ємною, то знак модуля для якобіана у формулі (7.43) можна зняти. Орієнтацію області можна задати певним вибором обходу межі області .

Рис. 7.28

Приклад. Обчислити:

, .

 Область інтегрування зображено на рис. 7.28. Перейдемо в цьому інтегралі до полярних координат (7.44), тоді область визначатиметься такими нерівностями: .

З урахуванням формули (7.46) маємо:

Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду

Розглянемо інтегрування функції по області, що є дугою деякої кривої лінії, утворивши відповідні інтегральні суми.

Криволінійний інтеграл першого роду.

Нехай — неперервна функція; , а , рівняння дуги кривої . Дугу розіб'ємо точками на елементарні дуги довжиною , виберемо на них точки обчислимо , і складемо таку інтегральну суму: .

Означення. Вираз виду

(7.47)

називається криволінійним інтегралом першого роду, якщо ця границя існує і не залежить ні від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ні від вибору на них точок Mi.

Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, інтеграл (7.47) можна обчислити за такою формулою:

(7.48)

У тривимірному випадку для функції , коли дугу кривої задано параметричними рівняннями , , , формула (7.48) набирає вигляду:

(7.49)

Зауваження. Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму шляху інтегрування.

Приклад. Обчислити: .

Тут є контур квадрата з центром у початку координат з довжиною сторони (рис. 7.29).

Рис. 7.29

Криволінійний інтеграл другого роду.

Якщо та — неперервні функції, а — рівняння дуги гладкої кривої , яку пробігає х, змінюючись від а до b, то криволінійний інтеграл другого роду має такий вигляд:

(7.50)

Криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний зі зміною напряму шляху інтегрування (тобто обходу дуги кривої ).

Криволінійний інтеграл другого роду можна розглядати як інтеграл від вектор-функції за диференціалом радіус-вектора дуги кривої лінії , тобто: .

Приклад. Обчислити ,

де — нижня дуга параболи , обхід якої здійснюється проти годинникової стрілки. Отже, за формулою (7.50) маємо:

Інтеграли, що залежать від параметра

Нехай підінтегральна функція визначена в прямокутній області D, так що , ; тоді інтеграл виду

буде функцією допоміжного аргументу або параметра у. Правило диференціювання функції , тобто правило диференціювання інтеграла, що залежить від параметра, встановлюється такою теоремою:

Теорема 14. Якщо функція неперервна по для будь-якого сталого та частинна похідна неперервна у прямокутній області D, то виконується формула

(7.51)

Більш загальний випадок, коли межі інтегрування також залежать від параметра у:

,

визначається такою теоремою:

Теорема 15. Якщо функція та її частинна похідна неперервні в прямокутній області D, функції та — диференційовні і їхні графіки не виходять за межі області D, то справджується така формула:

Щоб розпочати застосування формули (7.51) на випадок невласних інтегралів, введемо поняття рівномірної збіжності відносно параметра невласних інтегралів.

І. Нескінченний проміжок інтегрування.

Нехай функція визначена при всіх і всіх , а також існує для кожного невласний інтеграл:

. (7.52)

Означення.Невласний інтеграл (7.52) називається рівномірно збіжним відносно у, якщо для будь-якого знайдеться незалежне від у число , таке що для всіх виконується нерівність

одночасно для всіх .

Розглянемо функцію , що визначена в такій області D:

.

Теорема 16. Якщо функція та її частинна похідна — неперервні в області D, інтеграл — збіжний, а інтеграл — рівномірно збіжний відносно у, то для виконується формула:

(7.53)

ІІ. Інтеграл від розривної функції.

Нехай функція визначена при всіх і всіх а при має розрив 2-го роду; при цьому існує інтеграл

. (7.54)

Означення. Невласний інтеграл (7.54) називається рівномірно збіжним відносно у, якщо для будь-якого існує незалежне від у число таке, що при виконується нерівність

одночасно для всіх .

Розглянемо функцію , що визначена в такій області D:

.

Теорема 17. Якщо функція та її частинна похідна — неперервні в області D, інтеграл — збіжний, а інтеграл — рівномірно збіжний відносно у, то для виконується формула

Ця формула на вигляд така сама, як і формула (7.51), але відрізняється від (7.51) тим, що тут функція при невизначена.

Гамма-функція

Інтеграл Ейлера другого роду

(7.55)

визначає гамма-функцію , яка є однією із найважливіших функцій математичного аналізу. Найпростіші властивості такі:

  1. Інтеграл (7.55) збіжний при .

  2. при всіх неперервна і має неперервні похідні будь-якого порядку.

Похідні першого та n-го порядку від за теоремами 7.16, 7.17 відповідно мають вигляд:

,

.

3. Застосувавши інтегрування частинами до інтеграла (7.55) дістанемо:

Отже, виконується формула

(7.56)

Після п-кратного застосування формули (7.56) дістанемо:

(7.57)

Враховуючи, що

, (7.58)

формула (7.57) при набирає вигляду

(7.59)

4. Із формул (7.58), (7.59) виходить, що , а тому з теореми Ролля, застосованої для функції на проміжку , випливає, що існує , при якому похідна гамма-функції . Оскільки друга похідна гамма-функції додатна , то в точці функція має мінімум.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве