WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Узагальнення поняття інтеграла - Реферат

Узагальнення поняття інтеграла - Реферат

Реферат на тему:

Узагальнення поняття інтеграла

Невласні інтегралиіз нескінченним проміжком інтегрування

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного , так що існує.

Означення. Границя при називається невласним інтегралом від функції f(x) на нескінченному проміжку і позначається так: .

Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.

Якщо f(x) — інтегровна для скінченних a та b, тобто формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

(7.27)

(7.28)

(7.29)

де

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле

. (7.30)

Для розв'язування задачі розглянемо такі три випадки:

  1. р = 1. інтеграл розбіжний.

  1. p < 1. , інтеграл розбіжний.

  2. p > 1.

, інтеграл збіжний.

Отже, інтеграл Діріхле збіжний при p > 1 та розбіжний при .

Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх на збіжність існують і інші методи.

Одним із таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона (рис. 7.22)

, (7.31)

Рис. 7.22

особливість якого полягає в тому, що первісна для підінтегральної функції не виражається через елементарні функції.

У деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом порівняння, що базується на такій теоремі:

Теорема 12. Якщо при виконується нерівність , то зі збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла або з розбіжності випливає розбіжність .

Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома, наприклад інтеграл Діріхле.

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла .

 .

— збіжний, як інтеграл Діріхле із р = 2 > 1, тому буде збіжним і .

Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій

Нехай неперервна на проміжку та при х = а має розрив 2-го роду.

Означення. називається невласним інтегралом від розривної (необмеженої) функції .

Якщо ця границя існує, то інтеграл називається збіжним, а якщо не існує, то — розбіжним.

Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:

  1. — точка розриву ,

. (7.32)

  1. — точка розриву ,

(7.33)

III. — точка розриву ,

(7.34)

Зауваження.До невласних інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для не можна застосувати формулу Ньютона—Лейбніца.

Приклад. Обчислити .

 Неправильне розв'язання: .

Правильне розв'язання: , — точка розриву 2-го роду функції — невласний.

інтеграл розбіжний.

Поняття подвійного інтеграла

Задача про обчислення об'єму циліндричного тіла (бруса).

Розглянемо в системі тіло з циліндричною поверхнею, твірна якої паралельна осі ; основою тіла є область D, що міститься на площині , а зверху тіло обмежене поверхнею (рис. 7.23).

Рис. 7.23 Рис. 7.24

Розіб'ємо основу тіла, тобто область D, сіткою кривих на n елементарних площинок Si, площу яких позначимо через . Виберемо точки і побудуємо елементарні циліндричні тіла (бруси), основи яких Si, а висоти . Об'єм елементарного бруса має вигляд . Складемо таку інтегральну суму .

Тоді об'єм циліндричного тіла можна знайти у вигляді такої границі:

, (7.35)

де — максимальний діаметр площинки .

Означення. Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок Mi, то ця границя називається подвійним інтегралом від функціїпо областіD і позначається так:

(7.36)

Отже, подвійний інтеграл є прямим узагальненням понят-тя звичайного визначеного інтеграла на випадок функції двох змінних.

Зауваження.Аналогічно (7.36) можна розглядати потрійний інтеграл від функції трьох змінних у тривимірній області D, який позначається так: . За такою самою схемою можна побудувати n-кратний інтеграл від функції n змінних , у відповідній області D.

Властивості подвійного інтеграла

  1. , якщо ,

  2. , — площа області

Обчислення подвійного інтеграла зведенням до повторного інтеграла

Щоб обчислити знову звернемось до задачі 7.2.9 обчислення об'єму тіла (рис. 7.17).

Скористаємось формулою (7.24) для визначення об'єму циліндричного тіла, а отже, обчислимо відповідний подвійний інтеграл.

1. Випадок прямокутної області інтегрування.

Нехай

(7.37)

Переріжемо циліндричне тіло площиною, перпендикулярною до осі Ох.

У перерізі дістанемо криволінійну трапецію, площа якої (рис. 7.24). Ця площа дорівнює такому визначеному інтегралу:

(7.38)

Тоді за формулою (7.24) об'єм циліндричного тіла дорівнює такому повторному інтегралу:

(7.39)

Отже, об'єм циліндричного тіла можна обчислити за формулами (7.35), (7.39):

(7.40)

Зауваження.Для прямокутної області інтегрування порядок інтегрування можна міняти місцями, тобто

2. Випадок довільної області інтегрування.

Рис. 7.25

Означення. Область D називається правильною щодо деякої осі, якщо будь-яка пряма, паралельна цій осі, перетинає межу області не більш ніж у двох точках.

Наприклад, область D0 — правильна щодо осі та неправильна щодо осі (рис. 7.25). Звичайно, неправильну область можна розкласти на такі частини, кожна з яких буде правильною щодо певної осі, наприклад, області D1, D2, D3 правильні відносно осей Ox та Oy (рис. 7.25) .

Розглянемо , яка буде правильною відносно осі .

Переріжемо циліндричне тіло площиною, перпендикулярною до осі , площа утвореного перерізу матиме вигляд (рис. 7.26) , а об'єм циліндричного тіла за формулою (7.24) запишеться так:

(7.41)

Зауваження. Щоб поміняти порядок інтегрування у випадку довільної області D, треба за межами інтегрування відновити (аналітично та геометрично) область D і розв'язати задачу зведення подвійного інтеграла до повторного спочатку (змінюючи порядок інтегрування).

Рис. 7.26 Рис. 7.27

Приклад. Обчислити ,

де .

 Область D правильна щодо осі Оy (рис. 7.27), тому:

Ця сама область D (рис. 7.27) неправильна щодо осі Ох, тому якщо змінити порядок інтегрування, то розглядуваний інтеграл можна звести до таких повторних інтегралів:

Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі

Нехай у подвійному інтегралі (7.36) треба зробити перехід від змінних до змінних , тобто перейти від декартової системи координат до довільної системи координат за формулами , , які відомі.

Для цього необхідно обчислити елементарну площу в новій системі координат .

Диференціал радіуса-вектора в системі має вигляд: .

Отже, елементарну площу у декартовій системі координат можна знайти як модуль векторного добутку векторів:

.

У довільній системі координат

, а елементарна площа буде такою:

(7.42)

Визначник називається визначником Якобі, або якобіаном.

Теорема 13. Якщо функція неперервна в області а функції диференційовні і встановлюють взаємнооднозначну та неперервну відповідність між областю в системі Oxy та областю у системі Ouv, а їхній якобіан зберігає незмінним свій знак в області то виконується формула:

Loading...

 
 

Цікаве