WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Визначений інтеграл - Реферат

Визначений інтеграл - Реферат

Реферат на тему:

Визначений інтеграл

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Означення. Криволінійною трапецією називається плоска фігура, що обмежена лініями:

На рис. 7.3. зображені: класична криволінійна трапеція (а) та її вироджені випадки (б) та (в).

Рис. 7.3

Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції аАВв (рис. 7.4).

Розв'язання.

Розіб'ємо проміжок [a; b] на n частин точками так що Виберемо точки так: Побудуємо прямокутники з основою і висотою (рис. 7.4).

Площа елементарного прямокутника . Площа ступінчастої фігури буде тим менше відрізнятись від площі криволінійної трапеції SaABb, чим менша довжина , а в граничному випадку ці площі будуть збігатися, тобто

Рис. 7.4

Задача. Обчислити роботу змінної сили що виконується при переміщенні матеріальної точки на проміжку (рис. 7.5).

Розв'язання.

Розіб'ємо проміжок [a; b] на n частин точками На кожному з відрізків вважатимемо, що сила стала і дорівнює , (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Елементарна робота сили на відрізку буде Робота А сили на відрізку [a; b] знайдеться тоді так:

Означення. Сума типу називається інтегральною сумою.

Оперувати поняттям інтегральної суми доводиться у процесі розв'язку різних задач. Взагалі інтегральна сума може залежати від способу розбиття проміжка [a; b] на частини , а також від вибору на них точок

Поняття визначеного інтеграла

Нехай — деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб'ємо [a; b] на n частин точками так що

Обчислимо де

Складемо інтегральну суму .

Позначимо .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на проміжку [a; b] і позначається:

, (7.8)

де — знак визначеного інтеграла;

а, b — нижня та верхня межі інтегрування;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

За означенням, визначений інтеграл — число, яке залежить від типу функції та проміжку [a; b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування:

Означення. Функція, для якої на [a; b] існує визначений інтеграл називається інтегровною на цьому проміжку.

Далі буде показано, що неперервні функції — інтегровні.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Якщо , то дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 7.4).

7.2.3. Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо та інтегровні на [a; b], то

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [a; c], [с; b], то

VII. Якщо і інтегровна для то

VIII. Якщо , — інтегровні та для то

IX. Якщо f(x) — інтегровна та для то

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

Якщо функція — неперервна для то знайдеться така точка що:

(7.9)

Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 7.6).

Рис. 7.6.

Поняття визначеного інтегралазі змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона—Лейбніца

Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.

(рис. 7.7)

Рис. 7.7

Теорема 8. Якщо функція f(x) неперервна для будь-якого то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто

(7.10)

Наслідки:

1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції є одна із первісних для .

2. Будь-яка неперервна функція на проміжку має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто

Приклад. Знайти .

 Функція — неперервна на проміжку тому

Теорема 9. (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де (7.11)

Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

(7.12)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.

Приклад.

Метод підстановки у визначеному інтегралі

Теорема 10. Якщо: 1) — неперервна для ; 2) 3) та — неперервні для 4) при то

(7.13)

Зауваження.При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

Приклад.

=

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Теорема 11. Якщо функції та мають неперервні похідні для , то

(7.14)

Приклад.

Формули наближеного обчисленнявизначених інтегралів

Визначений інтеграл від заданої неперервної функції далеко не завжди можна легко та точно обчислити. Однак, використовуючи геометричний зміст, можна побудувати ряд наближених формул, за допомогою яких інтеграл обчислюється з будь-якою точністю. Розглянемо такі формули.

Нехай від заданої та неперервної на функції треба обчислити визначений інтеграл

Поділимо точками а = х0, х1, х2, ..., хn–1, xn = b на n рівних частин завдовжки .

Значення функції у точках позначимо так: , Побудуємо для функції на проміжку інтегральні суми, кожна з яких буде наближено подавати визначений інтеграл:

(7.15)

(7.16)

Формули (7.15) та (7.16) називаються формулами лівого та правого прямокутників відповідно. Ця назва пов'язана з тим, що криволінійна трапеція наближено замінюється відповідною ступінчастою фігурою (рис. 7.8).

Рис. 7.8

ІІ. Формула трапецій.

Більш точне значення визначеного інтеграла буде, якщо криву замінювати не ступінчастою лінією, а вписаною ламаною, тобто криволінійна трапеція замінюється сумою n прямолінійних трапецій (рис. 7.9). У цьому разі наближене значення інтеграла можна дістати як середнє арифметичне значень, обчислених за формулами (7.15) та (7.16).

(7.17)

Рис. 7.9

ІІІ. Формула Сімпсона.

Поділимо на парне число рівних частин точками так, що а = х0, b = x2m. На кожному із цих проміжків криволінійну сторону трапеції, рівнянням якої є ,

Рис. 7.10

замінюємо певною параболою. Таке наближення для обчислення визначеного інтеграла буде точнішим, ніж за попередніми формулами (рис. 7.10).

(7.18)

Обчислення площ плоских фігурв прямокутній системі координат

Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.

І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 7.11). Функція — неперервна та Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .

Якщо при виконанні всіх інших умов (рис. 7.12),

(7.20)

Рис. 7.11

Рис. 7.12

Рис. 7.13

ІІ. Фігура обмежена лініями (рис. 7.13). Функція — неперервна та Площа S такої фігури буде

(7.21)

а якщо (рис. 7.14), то

(7.22)

ІІІ. Фігура обмежена лініями , Функції та — неперервні та для (рис. 7.15). Площа S такої фігури визначається як різниця площ фігур аА2В1b та аА2В1b

(7.23)

Рис. 7.14 Рис. 7.15

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

та

Побудуємо фігуру, обмежену параболою та прямою на координатній площині; при цьому знаходимо точки перетину заданих ліній між собою та з осями координат, а також координати вершини параболи (рис. 7.16).

Точка — вершина параболи

Площа S фігури M1М8М2 за формулою (7.23) буде така:

Обчислення об'єму тіла

Задача. Знаючи закон зміни площі поперечного перерізу тіла, знайти його об'єм.

Розв'язання. Нехай функція — площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох у деякій точці . Відрізок дає лінійний розмір тіла в напрямі осі Ох.

Поділимо проміжок на n частин точками так, що Через ці точки проведемо площини перпендикулярно до осі, у результаті чого тіло буде розбито на n частин. Кожну з цих частин наближено замінимо циліндром з висотою та площею основи , де (рис. 7.17).

Рис. 7.17

Тоді об'єм тіла наближено дорівнюватиме інтегральній сумі а точне значення об'єму тіла подаватиметься границею

(7.24)

якщо ця границя існує за (7.8).

Задача. Знайти об'єм тіла утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями (рис. 7.18).

Розглядаючи цю задачу, як частинний випадок попередньої задачі, встановлюємо, що площа поперечного перерізу в даному випадку є площа круга радіусом , тобто , а об'єм тіла обертання за формулою (7.24) буде таким:

(7.25)

Рис. 7.18

Рис. 7.19

Зауваження.Аналогічно, об'єм тіла утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями х = 0, , , (див. рис. 7.13), матиме вигляд

. (7.26)

Приклад. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями , х = 1, х = 4.

 У прямокутній системі координат будуємо фігуру, обмежену даними лініями (рис. 7.19). За формулою (7.25) об'єм тіла буде таким: .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве