WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи теорії функцій комплексного змінного - Реферат

Елементи теорії функцій комплексного змінного - Реферат

Після підставляння в друге рівняння знайденого значення 0 і симетричних обчислень приходимо до шуканого значення :

.

Однозначні елементарні функції комплексного змінного

1. Степенева функція. Нехай nN.

Означення. Функція  = zn, zC називається цілою степеневою функцією. При n = 1 зображення  = z, zC є тотожним, а тому однолистим і комформним у всій комплексній площині С.

Функція  = zn — аналітична і, оскільки  = nzn – 1, то (zC) відповідне її відображення комформне в кожній точці.

Функція  = zn має рівно n різних прообразів, які визначаються формулою

.

Функція  = zn (n > 1) відображає однолисту і комформну внутрішність будь-якого кута з вершиною в точці z = 0 і розхилом на внутрішність кута з вершиною в точці  = 0 і розхилом n. Тому степеневу функцію часто використовують тоді, коли треба зобразити кут з прямолінійними сторонами на інший кут також з прямолінійними сторонами, але розхил якого в n разів більший від розхилу першого.

2. Функція Жуковського

Означення. Функцією Жуковського називається функція виду

.

Вона є аналітичною в області свого визначення, причому , z  0. Тому в кожній точці z  1 зображення цієї функції комформне.

Областями однолистості функції Жуковського є області, які не містять двох точок z1 і z2, що пов'язані рівністю z1  z2 = 1. Такими областями однолистості є внутрішність одиничного круга z < 1 або його зовнішність z > 1.

Коло z = 1 шляхом функції Жуковського відображається в подвійний відрізок.

Функція , z  0 відображає однолисто круг z < 1 на зовнішність відрізка [– 1; 1] площини .

Сім'я променів argz = , ортогональна до кіл z = r, перетворюється для зображенням Жуковського в сім'ї гіпербол

,

а відрізки променів argz = 0 (0 < r  1), (0 < r  1), argz =  (0 < r 1) і (0 < r  1) — відповідно в проміжки [1, + ), (– i, 0], (– ; – 1] і [0, + i).

Аналогічно, функція Жуковського відображає однолисто зовнішність круга z  1 на зовнішність відрізка [– 1; 1].

3. Показникова функція

Означення. Показникову функцію комплексного змінного визначають як і позначають (або ), тобто

. (6.11)

Із критерію диференційовності безпосередньо дістаємо, що функція є аналітичною і . Із рівності (6.11) маємо, що , .

Основна властивість показникової функції дійсного змінного має місце і для показникової функції комплексного змінного, тобто .

Із формули (6.11) також випливає, що тоді і тільки тоді, коли для деякого kZ. Тому число 2i є основним періодом.

Оскільки , то функція значення  = 0 не набуває ні при якому значенні zC. Будь-якого іншого значення   0 показникова функція набуває, причому кожне таке  має безліч прообразів, що записуються у вигляді .

Усі ці точки лежать на прямій і перебувають одна від іншої на величині, кратній 2. Тому зображення не однолисте.

4. Тригонометричні і гіперболічні функції

Означення. Тригонометричні функції косинуса і синуса для кожного комплексного змінного визначаються рівностями

, .

Усі відомі відношення між тригонометричними функціями дійсного змінного зберігаються і в комплексній області. Але із основної тригонометричної тотожності не можна зробити висновок, що і для всіх zC.

Визначимо для комплексних чисел z функції тангенс і котангенс за допомогою рівностей:

, .

Ці функції в областях визначення аналітичні, причому

, .

За допомогою показникової функції комплексного змінного визначаються гіперболічні функції chz i shz:

, .

Безпосередньо з означення гіперболічних функцій маємо формули

, ,

що встановлюють зв'язок гіперболічних функцій з тригонометричними.

Основні формули:

  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. , (6.12)

  5. .

Із формул 4 і 5 маємо, що , , а тому і необмежено зростає. Крім того, при

, .

Деякі багатозначні елементарні функціїкомплексного змінного

До багатозначних елементарних функцій комплексного змінного відносять функції

обернену до степеневої:

;

або логарифмічну — як обернену до показникової

або ,

де lnz — головне значення логарифма визначається за формулою

;

обернені тригонометричні функції:

, , , ;

узагальнену показниково-степеневу функції:

, де а  0,   С.

Ми встановлювали зв'язок між показниковою і тригонометричними функціями. Очевидно, що і функції, обернені до даної, Lnz і також пов'язані між собою. Знайдемо, наприклад, зв'язок між Ln z і Arcsin z.

Із виразу випливає , що можна записати у вигляді:

або .

Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно , маємо

або ,

звідки остаточно .

Аналогічно, , , .

Приклад. Розв'язати рівняння:

, де k — дійсне число. (6.13)

 Рівняння (6.13) за допомогою показникової функції подається у вигляді

.

Покладаючи , дістаємо .

Якщо k таке, що , то це рівняння і початкове не мають розв'язків.

Нехай . Тоді маємо, що .

Звідси, оскільки   0, для k, що задовольняє рівність рівняння також не має розв'язків.

В останніх випадках розв'язки цього рівняння можна задати формулою

.

Тому початкове рівняння має безліч розв'язків .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве