WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи теорії функцій комплексного змінного - Реферат

Елементи теорії функцій комплексного змінного - Реферат

Властивості аналітичних функцій

Означення похідної від комплексного змінного дає змогу перенести на аналітичні функції комплексної змінної ряд властивостей диференційовних функцій дійсної змінної.

  1. Якщо f1(z) і f2(z) — аналітичні функції в області D, то функції f1(z) f2(z); f1(z)  f2(z); при f2(z)  0 також є аналітичними.

  2. Якщо  = f(z) є аналітичною функцією в області D, причому в області її значень G на площині  визначена аналітична функція    (), то функція F(z) = [f (z)] також є аналітичною в області D.

  3. Якщо в області D визначена аналітична функція f(z), причому , то в області G значень функції f(z) визначена обернена функція z =  (), що є аналітичною функцією . При цьому якщо , то виконується співвідношення .

4. Нехай в області D задана функція, що є дійсною частиною аналітичної функції f(z). Тоді уявна частина цієї функції визначається з точністю до сталої. Справді, з огляду на умови (6.10) за заданою функцією u(x, y) однозначно визначається повний диференціал невідомої функції v (x, y):

5. Нехай функція f(z) є аналітичною в області D. Розглянемо в області D сім'ї кривих u (x, y) = с і v (x, y) = c, що є лініями рівня дійсної та уявної частин функції f(z). За допомогою відношень (6.10) можна показати, що .

Таким чином, сім'ї кривих u (x, y) = c і v (x, y) = c взаємно ортогональні, бо градієнти ортогональні лініям рівня.

Геометричний зміст похідної від аналітичної функції

При зображенні неперервної функції  = f(z), zD з відмінною від 0 похідною f(z0), будь-яка крива 1 площини z, що проходить через точку z0 і має в цій точці дотичну, перетворюється в криву Г1 площини , що проходить через точку 0 = f(z0) і також має дотичну в цій точці (рис. 6.3, а).

Рис. 6.3

При цьому Argf(z0) дорівнює куту, на який треба повернути проти годинникової стрілки дотичну до кривої  у точці z0, щоб одержати напрям дотичної до кривої Г в точці 0. Звідси випливає: якщо криві 1 і 2, які проходять через точку z0 і мають дотичні в цій точці, перетворюються за допомогою f відповідно в криві Г1 і Г2 площини  і  — кут, на який треба повернути дотичну до кривої 2 в точці z0, щоб вона збігалася з дотичною до кривої 1 в цій точці, то при повороті дотичної до кривої Г2 в точці 0 на кут , одержимо дотичну до кривої Г1 у точці 0. Таким чином, кут між лініями Г1 і Г2 в точці 0 такий, як і між 1 і 2 в точці z0.

Неперервне й однозначне відображення, за якого зберігаються величини кутів між кривими, що проходять через задану точку, називається комформним у цій точці. Якщо при цьому зберігаються не тільки величини кутів, а й напрями їх відліку, то таке відображення називається комформним відображенням першого роду; якщо ж напрями відліку кутів змінюються на протилежні, то кажуть про комформне відображення другого роду. Отже, відображення за допомогою аналітичної функції в деякій області D є комформним відображенням першого роду в усіх точках, в яких похідна відрізняється від нуля.

Якщо відображення f є комформним у кожній точці області D, то f називається комформним відображенням області D.

Модуль похідної f(z0) можна розглядати як коефіцієнт розтягу в точці z0 при зображенні функцією f(z).

Дробово-лінійна функція

Означення. Дробово-лінійною функцією називається функція виду , де a, b, c, d — зафіксовані комплексні числа, причому c2 + d2  0 і adbc  0. (Випадок adbc = 0 виключаємо із розгляду як нецікавий, бо тоді L(z)  const.)

В окремому випадку при c = 0 і ad  0 одержимо цілу лінійну функцію = Az + B.

Перетворення, що здійснюється за допомогою дробово-лінійної функції, є суперпозицією таких трьох найпростіших перетворень:

  1.  = z + c — перенесення площини на вектор, що відповідає комплексному числу с;

  2.  = eiz (Im  = 0) — поворот площини на кут навколо початку координат;

  3.  = kz (k > 0) — перетворення подібності з коефіцієнтом k.

Зауважимо, що всі вони переводять коло в коло, а пряму в пряму.

Властивості.

  1. Пряма і коло, що проходять через точку , перетворюються в прямі, а прямі і коло, що через неї не проходять, — в коло (кругова властивість).

  2. Будь-яка пара точок, що симетричні відносно кола або прямої, перетворюються в пару точок, що симетричні відносно образу Г(властивість зберігання симетричних точок).

Означення. Точки z і z називаються симетричними відносно кола , якщо вони лежать на одному промені, що виходить із центра,  і добуток їх відстаней від центра кіл дорівнює квадрату її радіуса.

Отже, якщо z і z симетричні відносно кола za = R, то .

Крім того, точки z і z є симетричними відносно  тоді і тільки тоді, коли будь-яке коло, що проходить через ці точки, перетинає  під прямим кутом.

Симетрія відносно прямої розуміється в звичайному значенні (точки z і z лежать по різні боки від прямої  на однаковій від неї відстані, а відрізок, що їх сполучає, перпендикулярний до ).

,

де   , а  = cos  + i sin  відповідає одиничному вектору, що напрямлений по цій прямій.

Існує тільки одне дробово-лінійне перетворення  = L(z), яке довільно задані три різні точки z1, z2, z3 переводить відповідно в задані довільні різні точки 1, 2, 3. Воно визначається із співвідношення:

,

де різниці, в яких  zn (або n), що збігаються з , необхідно замінити одиницею. Доводячи це твердження, використовуємо те, що дробово-лінійне перетворення, яке відрізняється від тотожного, має дві нерухомі точки, які можуть зливатися в одну.

Одне з найчастіше використовуваних дробово-лінійних зображень є зображення круга z < r на круг z < R, яке визначається функцією

,

де  < r, — дійсне.

Приклад. Перевірити, що дробово-лінійне перетворення переведе прямі Re(z) =  (  C,   R), які не проходять через точку , у коло . Знайти 0 і .

 Оскільки , то дістанемо такі рівняння шуканих кіл:

або .

Звідси

Отже, приходимо до рівняння

або

.

Крім того, рівняння цього ж кола можна записати у вигляді

,

де через 0 і  позначені її центр і радіус. Для їх визначення одедістанемо таку систему рівнянь:

Loading...

 
 

Цікаве