WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи теорії функцій комплексного змінного - Реферат

Елементи теорії функцій комплексного змінного - Реферат

Реферат на тему:

Елементи теорії функцій комплексного змінного

Основні поняття

Означення. Нехай D — деяка множина із C. Якщо кожному zD поставлено у відповідність одне значення f(z)  C, то кажуть, що на множині D задана однозначна функція f(z). Якщо кожному zD поставлена у відповідність деяка множина f(z)  C то кажуть що на множині D задана багатозначна функція f(z). Множина D називається областю визначення функції f(z), а множиною значень  = f(z) — множиною значень цієї функції.

Задання функції комплексного змінного  = f(z), zD Cрівнозначне заданню пари дійсних функцій двох дійсних зміннихu = u(x; y) і v = v(x; y) (x; y)  D:

f(z) = u(x; y) + і v(x; y), .

Функція u(x; y) називається дійсною частиною функціїf(z), а v(x, y) — її уявною частиною. При цьому пишуть u = Ref, v =Imf. Якщо f — однозначна функція, то функції u і v також однозначні.

Геометрично функція  = f(z), zD відображає область визначення D на множину її значень. Множину f(z) називають образом точки z при відображеній f, а точку zDпрообразом точки , якщо  = f(z).

Однозначна функція f : DCназивається однолистою, якщо для різних точок z1 і z2 із D відповідні значення функції f також різні, тобто f(z1)  f(z2).

Нехай Е — множина значень функції  = f(z), zD. Тоді на Е визначається функція z = f – 1(),   E, що називається оберненою функцією до f(z) і зіставляє з кожною точкою   E ті точки zD, для яких f(z) = . Таким чином, кожна комплексна функція має обернену і тільки в однолистої обернена функція є однозначною.

Розглянемо дві однозначні функції комплексного змінного  = f(z), zD1, z = g(),  D2. Припустимо, що D1 містить множину значень g(). Тоді, зіставляючи кожне  D2 з числом  = f(g()), одержимо на D2 функцію, яка називається складною.

Для однозначних функцій визначаються сума, різниця, добуток і частка двох таких функцій.

Границя та неперервність

Зауваження. Поняття границі, неперервності і диференційовності вводяться тільки для однозначних функцій.

Нехай функція f(z) визначена на деякій множині D.

Означення. Число 0 називається граничним значенням функціїf(z) в точці z0, якщо для будь-якого   0 можна вказати таке   0, що для всіх точок zD, які задовольняють умову 0 < <, має місце нерівність . Коротко записуємо .

Теорема 1. Нехай , і на множині D із C визначена функція , де x = Re z, y = Imz. Тоді комплексне відношення , рівносильне двом дійсним , .

Означення. Функція , zD називається неперервною в точці z0 D, якщо граничне значення цієї функції в точці z0 існує, скінченне і збігається зі значенням f(z0) функції f(z), тобто .

Згідно з теоремою 6.1 функція неперервна в точці z0 = x0 + iy0, тоді і тільки тоді, коли функції u = u(x, y) і v = v(x, y) неперервні в точці (х0, у0). Звідси випливає, що властивості границь функцій та неперервних функцій двох дійсних змінних переносяться на випадок функцій комплексного змінного.

Диференціювання функції

До теперішнього моменту теорія функцій комплексного змінного будувалася в повній аналогії з теорією функції дійсного змінного. Але поняття диференційовності функції комплексного змінного приводить до істотних відмінностей.

Нехай функція f(z) визначена в деякому околі точки z0  C.

Означення. Границя , якщо вона існує, називається похідною функції f(z) у точці z0, і позначається f(z0) (або d f(z0) / dz).

Функція f(z), що має похідну в точці z0, називається диференційовною в цій точці, вираз f(z0)  z — її диференціалом у точці z0 і позначається d f(z0). Припустимо, що  z = dz, тобто d f(z0) = f(z0) dz. Функція, що диференційовна в кожній точці відкритої множини D, називається диференційовною в D.

Із означення похідної і властивостей границь дістаємо основні правила диференціювання, які аналогічні правилам диференціального числення функцій дійсного змінного, тобто:

  1. (с) = 0, сС,

  2. ,

  3. ,

  4. ,

  5. ,

  6. .

  7. Нехай Е — множина значень однолистої функції , , що диференційовна в точці і . Тоді обернена функція ,   Е, диференційовна в точці , причому .

  8. Припустимо, що функція , диференційовна в точці і Е — множина її значень, а функція  = g(),   D, диференційовна в точці 0 = f(z0). Тоді складна функція  = g(f(z)), z D, диференційовна в точці z0, причому .

Теорема 2 (критерії диференціювання функцій). Для того щоб функція була диференційовною в точці z0 як функція комплексного змінного, необхідно і достатньо, щоб функції u і v були диференційовні в точці (х0, у0) і їх частинні похідні в точці задовольняли рівняння

.

При виконанні всіх умов теореми похідну f(z0) можна обчислити за однією з таких формул:

(6.10)

Умови (6.10) називають умовами Коші—Римана—Ейлера—Даламбера.

Означення. Функція f(z), яка визначена в околі точки z0, називається аналітичною в точці z0, якщо вона диференційовна в околі цієї функції.

Аналітична функція в кожній точці відкритої множини називається аналітичною в D або голоморфною.

Теорема 3. Для того щоб у деякій області D функція f(z) = u(x; y) + iv(x; y) була аналітичною, необхідно і достатньо, щоб:

1) в області D існували неперервні частинні похідні від функцій u(x; y) та v(x; y);

2) частинні похідні були пов'язані умовами (6.10).

Loading...

 
 

Цікаве