WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа - Реферат

Комплексні числа - Реферат

Модуль степеня комплексного числа дорівнює тому самому степеню модуля основи, а аргумент — аргументові основи, помноженому на показник степеня.

У частинному випадку, якщо r = 1, формула (6.7) набуває вигляду

.

Ця формула має назву формули Муавра.

Приклад. Піднести до куба число a = 2 (cos 20° + i sin 20°).

 Матимемо:

.

Формула Ейлера: , ,

, .

Добування кореня. Добудемо корінь n-го степеня з числа:

.

Матимемо:

(6.8)

1. Модуль кореня n-го степеня з комплексного числа дорівнює кореню того самого степеня з модуля підкореневого числа, а аргумент — аргументові підкореневого числа, поділеному на показник кореня.

  1. Корінь n-го степеня з комплексного числа має n різних значень.

За допомогою формули Ейлера можна дістати показникову форму комплексного числа

Квадратний тричлен з комплексними числами

Дано тричлен y = ax2 + bx + c.

Відомо, що корені його комплексні. У цьому випадку . Перетворимо тричлен до вигляду

.

Додамо й віднімемо по :

; .

При всіх значеннях х вираз є число додатне або таке, що дорівнює нулю (при ).

Дослідимо, який знак має другий доданок .

У випадках комплексних коренів вираз b2 – 4ac від'ємний, а протилежне йому число – (b2 – 4ac), тобто 4acb2, — число додатне.

Знаменник 4а2 теж число додатне, а отже, дріб є додатним числом. Значить, уся сума, що міститься в квадратних дужках, буде додатним числом при всіх значеннях.

Звідси випливає, що знак числової величини тричлена залежить лише від знака а: при а додатному тричлен має додатні значення, при а від'ємному — від'ємні.

Якщо тричлен має комплексний корінь, то при всіх значеннях х його числове значення має той самий знак, що й коефіцієнт при х2.

Загальний висновок про квадратні рівняння

Загальна формула для коренів повного квадратного рівняння виду ax2 + bx + c = 0 буде

.

Корені квадратного рівняння будуть обидва дійсні або обидва уявні залежно від того, чи буде дискримінант (у перекладі розрізнювач) b2 – 4ac величиною додатною чи від'ємною:

  1. b2 – 4ac > 0. У цьому випадку вираз під коренем додатний. Квадратний корінь з цього виразу має два значення, і, отже, рівняння має два різні дійсні корені:

; .

  1. b2 – 4ac = 0. У цьому випадку другий член чисельника дорівнює нулю і рівняння має два рівні корені: .

  2. b2 – 4ac < 0. У цьому випадку рівняння має два комплексно спряжені корені:

, .

Загальний вигляд алгебраїчного рівняння

Означення. Будь-яке рівняння, в якому невідоме пов'язане з даними числами за допомогою скінченного числа шістьох алгебраїчних дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня), можна звести до такого цілого й раціонального вигляду:

Axm + Bxm – 1 + Cxm – 2 + ... + Kx + L = 0, (6.9)

де коефіцієнти A, B, C, ..., K і L є сталі дійсні або комплексні числа, m є показник степеня рівняння. Деякі коефіцієнти в окремих випадках можуть дорівнювати нулю.

Рівняння такого виду називаються алгебраїчними. Алгебраїчні рівняння степеня, вищого від другого, називаються рівняннями вищих степенів.

Рівняння вищих степенів становлять предмет вищої алгебри. Елементарна алгебра розглядає тільки окремі види цих рівнянь.

Вища алгебра встановлює таку важливу теорему: будь-яке алгебраїчне рівняння має дійсний або комплексний корінь. (Теорема Гаусса).

Допустивши це твердження, можна показати, що алгебраїчне рівняння має стільки коренів, дійсних або комплексних, скільки одиниць у показнику його степеня.

Тоді рівняння (6.9) можна подати у вигляді:

А (х – )(х – )(х – ) ... (х – ) = 0,

де всіх різниць: х – , х – , ..., буде m. В окремих випадках деякі і навіть усі корені можуть бути однакові.

Корисно звернути увагу ще на такі твердження, що їх доводять у вищій алгебрі.

Твердження 1. Сума коренів будь-якого алгебраїчного рівняння (6.9) дорівнює , а добуток коренів дорівнює .

Твердження 2. Якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексні корені, то число цих коренів парне.

Твердження 3. Якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має n коренів виду p + qi, то воно має ще n коренів виду pqi.

Твердження 4. Алгебраїчне рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь.

Твердження 5. Рівняння з довільними буквеними коефіцієнтами степеня не вище четвертого можна в загальному розв'язати алгебраїчно, тобто для коренів цих рівнянь знайдені загальні формули, складені з коефіцієнтів рівняння за допомогою алгебраїчних дій.

Твердження 6. Рівняння з довільними буквеними коефіцієнтами степеня, вищого від четвертого, не можна у загальному розв'язати алгебраїчно, проте, коли коефіцієнти рівняння якого завгодно степеня виражені числами, завжди є змога обчислити з бажаним степенем наближення всі його корені, як дійсні так і уявні. Способи такого обчислення викладаються у вищій алгебрі.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве