WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа - Реферат

Комплексні числа - Реферат

Реферат на тему:

Комплексні числа

Поняття комплексних чисел

Означення. Комплексним числом називається число виду , де a, b — дійсні числа, і2 = – 1. Число а називається дійсною частиною, biуявною частиною, іуявною одиницею. Множина комплексних чисел позначається С.

Означення. Комплексні числа виду a + bi і abi називаються спряженими. Комплексні числа виду a + bi і – abi називаються протилежними. Спряжене до комплексного числа z позначається .

Означення. Два комплексних числа a + bi і a1 + b1i вважаються рівними в тому і тільки в тому випадку, якщо a = a1 і b = b1.

Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них вважати більшим.

6.1.2. Дії з комплексними числами

Додавання: (a + bi) + (a1 + b1і) = (a + a1) + (b + b1)i.

Віднімання: (a + bi) – (a1 + b1i) = (aa1) + (bb1)i.

Множення: (a + bi)(a1 + b1i) = aa1 + a1bi + ab1i + bb1i2 = (aa1 –bb1) + (a1b + ab1)i.

Ділення:

Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і2 треба вважати таким, що дорівнює – 1.

і0 = 1 і5 = і4  і = і

і1 = іі6 = і5  і = – 1

і2 = – 1 і7 = і6  і = – 1  і = – і

і3 = і2  і = – іі8 = і7  і = – іі = 1

і4 = і3  і = – іі = 1 і т. п.

Отже, дістали чотири значення, що чергуються:

і; – 1; – і; + 1, тоді:

(а + ib)2 = a2 + 2abi + b2i2 = (a2 – b2) + 2abi,

(а + ib)3 = a3 + 3a2b + 3a(ib)2 + (ib)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2bb3)i і т. п.

Добування квадратного кореня: Припустимо, що

Тоді a + bi = (x2 – y2) + 2xyi.

Отже, маємо:

.

З рівняння 2ху = b випливає, що знаки х та у мають бути однакові, якщо b > 0, і різні, якщо b < 0.

Тому при b > 0;

при b < 0.

Зауваження. Для того щоб з комплексного числа можна було добути корінь третього, або вищого степеня, йому треба надати іншого вигляду.

Приклад. Нехай z1 = 5 + i6; z2 = 7 – i9; z3 = 5 + 12i.

Знайти: z1 + z2, z1  z2, z1 / z2, z12, .

z1 + z2 = (5 + 6і) + (7 – 9і) = (5 + 7) + і(6 – 9) = 12 – 3і;

z1  z2 = (5 + 6і)  (7 – 9і) = 5  7 + 6і  7 – 5  9іі6  і9 == 35 + 42і – 45і + 54 = 89 – 3і;

z12 = (5 + i6)2 = 25 + 2  5  6i + (i6)2 = 25 + 60i – 36 = – 11 + 60i;

.

Геометричне зображення комплексного числа (інтерпретація Гаусса)

Будь-яке комплексне число a + bi можна зобразити геометрично.

Візьмемо в площині прямокутну систему координат і, вибравши одиницю довжини, зображатимемо дійсні числа на осі абсцис, а уявні — на осі ординат. Відповідно до цього вісь абсцис називається дійсною віссю, а вісь ординат — уявною.

Число a + bi зображатимемо точкою площини, абсциса якої чисельно дорівнює а, а ордината дорівнює b (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Тригонометрична форма комплексного числа

Зображення комплексних чисел за допомогою точок на площині дає змогу подати число a + bi в іншому вигляді, а саме — у тригонометричній формі.

Нехай точка М (рис. 6.2) зображає комплексне число a + ib.

Тоді ОА = а, АМ = b. Позначимо віддаль ОМ точки від початку координат через r, а кут АОМ, утворюваний ОМ з віссю х, — через . Тоді з трикутника АОМ матимемо:

a = r cos, b = r sin.(6.1)

Підставивши в комплексне число a + bi значення a і b (6.1), дістанемо

a + bi = r cos  + r sin   i (6.2)

або

a + bi = r (cos  + i sin ).

Це є тригонометрична форма комплексного числа. Довжина OM = r називається модулем комплексного числа, а кут АОМ =  — його аргументом.

Покажемо, як перетворити в тригонометричну форму комплексне число, подане в звичайній алгебраїчній формі.

Для цього треба знайти r і  за даними a і b. З трикутника ОАМ (рис. 6.2) маємо:

, , (6.3)

, (6.4)

Рис. 6.2

Приклад. Подати в тригонометричній формі число – 3 + 2і.

 З формул (6.3) маємо:

,

Тангенс від'ємний, отже, кут  треба шукати в ІІ або IV чверті. З формул (6.4) виходить, що при а = – 3 і b = 2 синус буде додатний, а косинус — від'ємний, тобто  буде кутом ІІ чверті. На ПОМ або за таблицями знаходимо:  = 146° 18, а тому .

Дії з комплексними числами,поданими в тригонометричній формі

Додавати і віднімати комплексні числа простіше і зручніше, коли компоненти подані в алгебраїчній формі. Зовсім інша річ з останніми чотирма алгебраїчними діями.

Множення. Нехай треба перемножити числа:

, .

Дістанемо:

(6.5)

Звідси випливає:

Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добуткові модулів співмножників, а аргумент — сумі аргументів співмножників.

Приклад. Нехай:

; .

Тоді .

Ділення. Нехай треба число a = R1(cos  + sin ) поділити на число b = R2 (cos  +i sin ).

Матимемо:

. (6.6)

Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів, а аргумент — різниці аргументів діленого і дільника.

Приклад. Нехай a = 12 (cos 55° + i sin 55°); b = 3 (cos 35° + i sin 35°).

Тоді .

Піднесення до степеня. Нехай треба число a = R(cos  + i sin ) піднести до степеня n:

Матимемо:

. (6.7)

Loading...

 
 

Цікаве