WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження функції двох змінних - Реферат

Дослідження функції двох змінних - Реферат

Рис. 5.21

Якщо рівняння зв'язку можна розв'язати відносно змінної , наприклад, , тоді дослідження функції на умовний екстремум при обмеженні (5.6) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції однієї змінної :

.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв'язку .

 Розв'яжемо рівняння зв'язку відносно змінної :

.

Підставимо знайдене значення у вираз для та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції ,

.

Таким чином, задана функція має умовний екстремум у точці (3; 3).

Метод Лагранжа знаходження точокумовного екстремуму

Нехай функції та неперервно диференційовні в околі і ранг матриці Якобі дорівнює 1 у точках, що задовольняють рівняння зв'язку.

Означення. Функцію називають функцією Лагранжа, параметр — множником Лагранжа.

Теорема 22. (Необхідна умова існування умовного екстремуму.) Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівнянні зв'язку необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Ці умови означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв'язку.

Теорема 23. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції , подвійно неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженні Тоді якщо за умови

, (5.7)

другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від'ємно) визначеною квадратичною формою, то функція у точці має умовний строгий мінімум (максимум).

Якщо за умов (5.7) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції = відносно рівняння зв'язку .

 Функції і подвійно неперервно диференційовні. Матриця Якобі в даному випадку має вигляд і її ранг дорівнює 1 в усіх точках, що задовольняють рівняння зв'язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами дістанемо систему:

з якої знаходимо , при ; , при . Таким чином, функція може мати умовний екстремум тільки в двох точках (–5; 4) і (5; – 4).

Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа: , , , тоді .

Знайдемо перший диференціал функції .

У точках (–5; 4) і (5; – 4) диференціали і пов'язані рівністю: , . При виконанні цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці (–5; 4) є додатно визначеною квадратичною формою , а в точці (5; –4) — від'ємно визначеною формою .

Отже, функція у точці (–5; 4) має умовний мінімум , а в точці (5; –4) — умовний максимум .

Метод найменших квадратів

1. Лінійна залежність

Нехай , , ... , — послідовність значень незалежної змінної, а , , ... , — послідовність відповідних значень залежної змінної.

Необхідно дібрати пряму, яка "найліпше" виражала б за-лежність між і . Це означає, що відхилення фак-тичних значень функції від дібраної прямої мають бути мінімальними.

Нехай є рівняння цієї прямої. Маємо , , ... , .

Відхилення від фактичних значень функцій становлять:

.

Ці відхилення мають бути додатними або від'ємними, тому пряма добирається так, щоб сума квадратів відхилень

була найменшою. Отже, треба визначити і так, щоб функція f досягала мінімуму. Необхідна умова існування мінімуму полягає в тому, що , .

Маємо , отже,

Обчислимо , звідки і , звідки .

Таким чином, ми дістанемо два рівняння з двома змінними — і :

, .

Розв'язування цих двох рівнянь дає значення і , які визначають пряму, що найліпше відбиває хід змінювання функції.

Приклад. Виробництво цементу (у сотнях тонн) і витрати електроенергії (на 1 тонну цементу за рік) за визначений період роботи цементної промисловості характеризуються значеннями, які зведено в такій таблиці:

1

8

80

2

10

72

3

12

65

4

13,5

70

5

14

68

Знайти пряму, яка відбиває залежність від .

 Складаємо таку таблицю:

1

8

80

640

64

2

10

72

720

100

3

12

65

780

144

4

13,5

70

945

182,25

5

14

68

952

196

Сума

57,5

355

4037

686,25

Рис. 5.22

, , , .

Отже, необхідна умова існування мінімуму суми квадратів відхилень подається так:

,

.

Таким чином, шукана пряма є (рис. 5.22).

2. Параболічна залежність

Нехай — послідовність значень незалежної змінної х, а — послідовність відповідних значень залежної змінної.

Точки утворюють деяку лінію. Нехай необхідно дібрати параболу, яка б "найліпше" виражала залежність у від х. При цьому термін "найліпше" означає, що сума квадратів відхилень дійсних значень функції від дібраної параболи мінімальна.

Нехай

є дібрана парабола. Тоді

,

,

........................,

.

Параболу дібрано найліпшим чином, якщо сума квадратів відхилень

мінімальна.

Необхідні умови існування мінімуму функції подаються залежностями:

, , .

Маємо

звідки

,

,

.

Ділячи обидві частини рівнянь на 2 і розбиваючи суми на доданки, дістаємо

Розв'язуючи систему, знаходимо невідомі коефіцієнти .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве