WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження функції двох змінних - Реферат

Дослідження функції двох змінних - Реферат

Реферат на тему:

Дослідження функції двох змінних

Екстремум функції двох змінних

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок цього околу виконується нерівність , тоді ця точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції .

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

Теорема 20 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці , тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема 21 (достатня умова екстремуму). Нехай функція має екстремум у точці неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та , а також , , . Якщо:

1) і , тоді точка максимуму функції ;

2) і , тоді точка мінімуму функції ;

3) , тоді в точці немає екстремуму.

4) , тоді потрібні додаткові дослідження.

Алгоритм дослідження функції на екстремум

1. Знайти перші частинні похідні та .

2. Знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких , .

3. Знайти частинні похідні другого порядку , , .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках.

5. Для кожної стаціонарної точки знайти і зробити висновки на базі теореми 5.21.

Приклад. Розглянемо функцію .

 1. Знайдемо , .

2. Необхідна умова існування екстремуму полягає в тому, що . Розв'язком цієї системи є точка з координатами , . Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

3. Знайдемо похідні другого порядку , , , звідки дістаємо, що .

4. Як випливає з пункту 5 алгоритму знаходження екстремуму — екстремум у точці (1; 2) існує. Це максимум, бо .

Приклад. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

.

 Знайдемо і :

, .

2. Необхідна умова екстремуму: .

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

3. Знайдемо , , :

, , .

4. У точці (0; 0)

, , .

.

5. Точка (0;0) — мінімум, хоча це ясно і безпосередньо.

Алгоритм знаходження екстремумів за допомогою матриці Гессе

І. Знаходимо та прирівнюємо його до .

Розв'язуємо рівняння

та знаходимо точки .

ІІ. Складаємо матрицю Гессе

та обчислюємо .

Можливі два випадки:

а) . Цей випадок потребує розглядання частинних похідних порядка більше 2. Ми його розглядати не будемо.

б) .

ІІІ. Обчислюємо головні мінори матриці .

Функція має в точці

А. мінімум, якщо — еліптична;

Б. максимум, якщо

— еліптична

В. Сідлова точка, якщо у випадках А і B знаки не упорядковані, — гіперболічна

А.

Мінімум

— додатно визначена

Б.

Максимум

— від'єм. визн.

В.

Сідловаточка

— невизначена

Приклади. Знайти екстремуми заданих функцій:

 ,

І.

ІІ.

ІІІ. , → Н — невизначена. Отже, точка (0; 0) — сідлова точка.

Значення функції в т. (0; 0) .

 ,

І.

ІІ.

ІІІ. , → Н — додатно визначена.

— точка мінімуму.

ІV. .

 ,

І.

ІІ.

.

ІІ а.

Мінімум для .

Зауваження.Ми навели певні аналітичні ознаки для знаходження екстремумів. Існують і більш строгі ознаки. Але в деяких випадках встановити, чи має функція мінімум або максимум, можна за умовою задачі.

Приклад. Показати, що прямокутний паралелепіпед з найбільшою бічною поверхнею є куб.

 Нехай — ребра паралелепіпеда.

Якщо — об'єм, — бічна поверхня паралелепіпеда, то

, .

Серед змінних дві незалежні, нехай це будуть х і y, тоді

.

Отже, ,

,

.

Значення х = 0, y = 0, очевидно, не можуть дати максимуму. Отже,

.

Розв'язавши ці рівняння разом із рівнянням

дістанемо .

Ці рівняння мають єдиний розв'язок, і ним визначається максимум.

Приклад. На площині

знайти точку, найменш віддалену від початку координат.

 Відстань деякої точки на заданій площині від початку координат є

Коли ця відстань досягає мінімуму, то

тобто

Із рівняння площини маємо:

Координати пов'язані тільки рівнянням площини. Отже, можуть набувати будь-яких значень, що задовольняють останнє рівняння. Із цього рівняння знайдемо через і і підставимо в попереднє рівняння. Дістанемо

Якщо — координати точки мінімуму, то коефіцієнти при мають дорівнювати 0:

, .

Отже, , враховуючи, що точка лежить на площині . Матимемо, що точка дає шуканий мінімум.

Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині

Як випливає з теореми 11, функція, що неперервна на замкненій обмеженій множині , досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Цих значень вона може набувати як у внутрішніх точках множини (кожна така точка є точкою екстремуму функції, у цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини .

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції в області, обмеженій прямими , , , (рис. 5.20).

Рис. 5.20

 1. Дослідимо поводження функції всередині області KLMP. Знайдемо перші частинні похідні функції : :, . Прирівнявши їх до нуля, дістанемо стаціонарні точки та .

2. Дослідимо поводження функції на межі області. Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Треба знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку .

Маємо , отже, функція зростає і тому досягає найбільшого значення на кінцях відрізка, тобто в точках і .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної у: . Маємо на відрізку .

Отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках і .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної х: , тобто . Маємо , звідки при . Отже, на відрізку функція може досягати найбільшого та найменшого значень у точках , та .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Маємо , отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках , .

Таким чином, функція може досягти найбільшого та найменшого значень тільки в таких точках: , , , , , , .

Знаходимо , , , , , , .

Отже, , і це значення досягається в точці , , і це значення досягається в точці .

Умовний екстремум для функції двох змінних

Нехай на відкритій множині задано функції , і — множина точок, що задовольняють рівняння

(5.6)

Означення. Рівняння (5.6) називають рівнянням зв'язку. Точку називають точкою умовного строгого максимумуфункції відносно рівняння зв'язку (5.6), якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого , що задовольняють рівняння зв'язку, справджується нерівність .

Якщо за таких умов виконується , тоді точку називають точкою умовного строгого мінімумуфункції при обмеженнях (5.6).

Аналогічно вводяться поняття нестрогого умовного екстремуму.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Прямий метод знаходження точокумовного екстремуму (метод виключення)

Loading...

 
 

Цікаве