WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференційовність функції двох змінних - Реферат

Диференційовність функції двох змінних - Реферат

Приклад. Знайти градієнт функції у точці (1; 2; –1).

 Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 2; –1):

, ,

.

Тоді .

Приклад. Знайти точки, в яких модуль градієнта функції дорівнює 2.

 Знайдемо і :

, .

Модуль градієнта дорівнює 2 в деякій точці :

.

Отже, , тобто в точках кола з центром у точці (0; 0) і радіусом модуль градієнта заданої функції дорівнює 2.

Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини . Візьмемо будь-яку точку ; у цій точці існують частинні похідні і , які залежать від і , тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначаються так:

або ,

або ,

або ,

або .

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад:

, .

Означення.Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала першого порядку, тобто .

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків

..........

Приклад. Знайти , якщо .

Приклад. Знайти для функції

Приклад. Знайти і для функції .

 , ,

, .

У попередньому прикладі ми дістали, що . Виявляється, що ця рівність виконується в багатьох випадках, що випливає з такої теореми.

Теорема 19. Якщо функція визначена в області D і в цій області існують перші похідні та , а також другі мішані похідні , , які до того ж як функції від х і у неперервні в точці , то в цій точці .

Похідна неявної функції

Якщо існує неперервна функція однієї змінної , така що відповідні пари задовольняють умову , тоді ця умова називається неявною формою функції, а сама функція називається неявною функцією, яка задовольняє умову .

Припустимо, що неперервна функція задана в неявній формі і що . Похідну обчислюємо за формулою

, .

Приклад. Знайти похідну від неявної функції – в точці , .

 Маємо , , звідки

.

Для , маємо .

Аналогічно частинні похідні функції двох незалежних змінних , яку задано за допомогою рівняння , де — диференційовна функція змінних , , , можуть бути обчислені за формулами

, (5.5)

за умови, що .

Приклад. Знайти , , якщо .

 У даному разі . Знайдемо , , .

, , .

Тоді за формулами (5.5)

, .

Формула Тейлорадля функції двох змінних

Розглянемо функцію двох змінних . Припустимо, що в околі деякої заданої точки ця функція має неперервні похідні всіх порядків до включно. Надамо і деяких приростів і так, щоб прямолінійний відрізок, який сполучає точки і , не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді

або в розгорнутому вигляді

де .

Це формула Тейлора для функції двох незалежних змінних.

Поняття визначника Якобі (якобіан)

Важливим формальним засобом дослідження є визначники, утворені з частинних похідних.

Нехай дано функцій від змінних

,

,

................

,

що визначені в деякій n-вимірній області D і мають у цій області неперервні похідні за всіма змінними. Складемо з цих похідних визначник

.

Цей визначник називають функціональним визначником Якобі, або якобіаном, системи функції. Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної похідної. Якобіан використовують при обчисленні кратних інтегралів, при заміні змінної тощо.

Зауваження. Матрицю

називають матрицею Якобі.

Матриця Гессе. Гессіан

Нехай задано функцію , яка двічі неперервно диференційовна за змінними .

Означення. Матриця

або

називається матрицею Гессе.

Приклад. Для функції дістанемо матрицю Гессе.

.

Поняття матриці Гессе відіграє велику роль для знаходження екстремумів функції двох та більше змінних.

Визначник що відповідає матриці Гессе називається гессіаном.

Ротор, дивергенція

У. Р. Гамільтоном уперше було введено поняття оператора , який він назвав оператором "набла" і позначив через . Користуючись цим позначенням можна, написати, що .

Якщо двічі застосувати оператор до функції , дістанемо

так званий оператор Лапласа.

Означення. Скалярний добуток оператора на векторну функцію називається дивергенцією і обчислюється за формулою .

Означення. Векторний добуток оператора на векторну функцію називається ротором і обчислюється за формулою

.

Економічний змістчастинних похідних

Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.

Припустимо, що функції і виражають попит на товари і , який залежить від ціни на ці товари. Частинні еластичності попиту відносно цін і подаються у вигляді:

, ,

, .

Частинна еластичність попиту на товар відносно ціни товару приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар , якщо ціна товару зростає на 1%, а товару залишається незмінною.

Частинна еластичність попиту на товар відносно ціни товару приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар , якщо ціна товару зростає на 1%, а товару залишається без змін, і т. ін.

Приклад. Припустимо, що функція попиту на товар є

.

Знайти частинні показники еластичностей.

 Маємо , .

Для , дістаємо .

Це означає, що коли ціна товару зростає на 1%, а товару залишається без змін, тоді попит на товар знижується на 0,3%. Далі, , тобто якщо ціна товару зростає на 1% при незмінній ціні товару , попит на товар зростає приблизно на 0,05%.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.


 
 

Цікаве

Загрузка...