WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференційовність функції двох змінних - Реферат

Диференційовність функції двох змінних - Реферат

Реферат на тему:

Диференційовність функції двох змінних

Частинні та повний прирости функції двох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним x та y приросту відповідно та так, щоб точка не виходила за межі вказаного околу. Тоді й точки , також належатимуть розглядуваному околу (рис. 5.18).

Рис. 5.18

Означення. Різницю називають повним приростом функції при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х, а різницю — частинним приростом за y функції ; їх позначають відповідно і . Таким чином,

,

, .

Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

Диференційовність функції двох змінних

Означення. Функція називається диференційовною у точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

,

де А, В — числа, ,  — нескінченно малі при .

Головна лінійна частина приросту функції, тобто називається повним диференціалом функції (точніше першим диференціалом) двох змінних у точці і позначається

.

Теорема 13. Якщо функція диференційовна в точці , тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення. Нехай функція визначена в точ-ці і в її деякому околі. Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною за х (за у) функції у точці і позначається , або , або . Таким чином, , . Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише пам'ятати, що при знаходженні у вважається сталою, а при знаходженні змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:

Теорема 14 (необхідна умова диференційовності функції у точці).

Якщо функція диференційовна в точці , то в цій точці існують частинні похідні і .

Приклад. Знайти і для функції .

 Знайдемо . Вважаючи, що дістанемо:

.

При знаходженні вважаємо, що Дістанемо:

.

Приклад. Знайти і для функції .

 Знайдемо , вважаючи

Знайдемо , вважаючи

.

Приклад. Для функції знайти і :

 ,

Диференціали незалежних змінних збігаються з їхніми приростами: , . Тоді, як випливає із означення повного диференціала і теореми 13, повний диференціал функції можна обчислити за формулою

.

Аналогічно повний диференціал функції трьох аргументів обчислюється за формулою

.

Приклад. Знайти якщо .

 , , .

Отже, .

Приклад. Знайти , якщо .

 , де

;

, отже,

.

Геометричний зміст частинних похідних. Якщо функцію , що має частинні похідні в точці , розглядати за умови , то геометрично це означає, що поверхня перетинається площиною , паралельно координатній площині ; у перерізі дістаємо лінію. Тоді є кутовим коефіцієнтом дотичної до зазначеного перерізу в точці , тобто тангенсом кута нахилу цієї дотичної до додатного напряму осі Ох. Аналогічно, є кутовим коефіцієнтом дотичної, що проходить через точку , до кривої, яка утворюється в результаті перетину поверхні з площиною .

Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою диференційовності: наприклад, для функції

у точці (0; 0): , . Але ця функція розривна в точці (0; 0), а тому функція не може бути диференційовною в цій точці. Таким чином, для диференційовності функції у точці недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі теореми.

Теорема 15. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, тоді вона диференційовна в точці .

Зауваження.Можна навести твердження про зв'язок між поняттями неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці, аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної.

Теорема 16. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.

5.2.4. Диференціювання складної функції

Теорема 17. Нехай на множині D визначена складна функція , де , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція — неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де ,. Тоді складна функція диференційовна в точці , причому

, .

Приклад. Знайти і для функції .

 Маємо де .

Тоді , , , , , .

Таким чином, , , або після підставляння виразів u і v дістанемо , .

Дотична площина та нормаль

Якщо функція диференційовна в точці , то виконується рівність

або

Узявши в цій наближеній рівності , , дістанемо:

(5.3)

На формулі (5.3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для наближених обчислень.

Крім того, якщо в рівності (5.3) взяти , , дістанемо

Це рівняння дотичної площини, що проходить через точку .

Якщо поверхню задано у просторі рівнянням , то рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:

, (5.4)

де , , .

Нормаль до поверхні в точці — це пряма, що проходить через точку і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння

.

Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається (рис. 5.19); — довжина відрізка . Границя , якщо вона існує, називається похідною функції за напрямом у точці і позначається .

Рис. 5.19

Зокрема, є похідна функції за додатним напрямом осі Ох, а — похідна функції за додатним напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції у точці за напрямом .

Теорема 18. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

,

де і — значення частинних похідних функції у точці .

Приклад. Знайти похідну функції у точці (1; 1) за напрямом .

 Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 1) функції

, .

Тоді за формулою похідної за напрямом дістанемо:

.

Приклад. Знайти похідну функції у точці (1; 1) за напрямом бісектриси першого координатного кута.

 Знайдемо значення , у точці (1; 1):

;

.

Отже,

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції у точці , називаєтьсяградієнтом функції у цій точці і позначається (— одиничні орти):

Аналогічно для функції трьох змінних похідна за напрямом подається у вигляді:

Для функції трьох змінних градієнт у точці визначається так:

де — одиничні орти і обчислені в точці .

Похідна за напрямом функції та градієнт пов'язані співвідношенням

Loading...

 
 

Цікаве