WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функції багатьох змінних - Реферат

Функції багатьох змінних - Реферат

.

Приклад. Обчислити .

 Візьмемо . Тоді з того, що випливає і задану границю можна переписати у вигляді . При маємо ; , тобто . Таким чином, .

Зауваження. Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато спільного, але є й принципова відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Річ у тім, що коли ( — функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі дорівнюють b. Правильним є й обернене: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближатися до точки можна нескінченною множиною способів: і справа, і зліва, і зверху, і знизу, і під кутом 30 до осі Ох тощо (рис. 5.10).

Рис. 5.10 Рис. 5.11

Більше того, до точки можна наближатися не тільки по прямій, а й по більш складних траєкторіях (рис. 5.11).

Очевидно, що рівність правильна тоді й тільки тоді, коли границя дорівнює b при наближенні до точки по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш обмежене, ніж збіг двох односторонніх границь у випадку функції однієї змінної.

Приклад. Довести, що не існує.

 Будемо наближатися до точки (0; 0) по прямій . Якщо , тоді .

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює .

при границя дорівнює і т. п.

Таким чином, якщо наближатися до точки (0; 0) з різних напрямків, то дістанемо різні значення, тобто границя не існує.

Зауваження. Нехай дано функцію двох змінних . Розглянемо границі, які дістаємо після послідовних граничних переходів за кожним із аргументів окремо в тому чи іншому порядку.

Якщо при будь-якому фіксованому y з Y існує для функції f(x; y) (яка буде функцією від х) границя при ха, то ця границя, взагалі кажучи, буде залежати від наперед фіксованого у:

.

Далі постає запитання про границю функції при — це буде одна із двох повторних границь. Іншу дістанемо, якщо границі візьмемо в зворотному порядку

.

Повторні границі не обов'язково рівні.

Приклад. Нехай

1) і а = b = 0, тоді:

, ,

але водночас , . Отже, .

Може статися так, що одна з повторних границь існує, друга — ні.

Розглянемо приклади.

2) або

3) .

В обох випадках існує повторна границя , але немає повторної границі (в останньому прикладі навіть не існує простої границі ).

Приклади показують, що можливість перестановки границь повинна бути обґрунтована. У зв'язку з цим виконується наступна теорема, що встановлює зв'язок між подвійною і повторною границями.

Теорема 5.Якщо 1) існує (скінченна або ні) подвійна границя

і 2) при будь-якому у з Y існує (скінченна) звичайна границя по х, то існує повторна границя, яка дорівнює подвійній границі.

 Доведемо це для випадку скінченних А, а і b. Згідно з означенням за заданим знайдеться таке , що , якщо тільки (причому х береться з Х, а у з Y). Зафіксуємо у так, щоб виконувалась нерівність і перейдемо в до границі при .

За умовою 2) прямує до , тому

.

При фіксованому у з Y, що задовольняє умову , маємо , що й треба було довести.

Якщо поряд з умовами 1) і 2) при будь-якому х з Х існує (скінченна) звичайна границя по у, то, як випливає з доведеного, існує також і друга повторна границя , що дорівнює також числу А (в цьому випадку обидві повторні границі однакові).

З теореми 5.5 випливає, що в прикладах 1) і 2) подвійна границя не існує.

У прикладі 3), навпаки, подвійна границя існує: 3 нерівності випливає, що вона дорівнює нулю.

Не обов'язково існування подвійної границі необхідне для рівності повторних.

У прикладі обидві повторні границі існують і рівні 0, але подвійної границі немає.

Неперервність функції двох змінних

Означення.Функція називається неперервною в точці , якщо .

Означення. Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних змінних

Ця функція має розрив у точці (0; 0), бо в точці для функції границі не існує (див. приклад в 5.1.5).

Тут ми спостерігаємо цікаве явище. Функція, що розглядається, не є неперервною в точці (0; 0) по двох змінних водночас, але є неперервною по змінних x та y окремо.

Приклад. Точки розриву можуть бути не тільки ізольованими, як у попередньому прикладі, а й заповнювати лінії, поверхні і т. п. Так, функції двох змінних , мають розриви: перша — прямі , друга — окіл .

Для функції трьох змінних , розриви заповнюють у першому випадку гіперболічний параболоїд , а в другому — конус .

Означення. Нехай функція визначена на множині Е, а змінні x і y, у свою чергу, залежать від змінних u та v і , , де обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого значення , такі, що (рис. 5.12), то кажуть, що на множині D визначена складна функція , де , ; x, y — проміжні змінні, u, v — незалежні змінні.

Рис. 5.12.

Приклад. Функція , де , — складна функція. Вона визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді .

Означення. Функцію , яка визначена на множині називають неперервною по множині в точці , якщо .

Теорема 6.Нехай на множині D визначено складну функцію , де , , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складна функція неперервна в точці .

Властивості неперервної функціїдвох змінних

Теорема 7.Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема 8.Якщо функції та неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними , , при .

Теорема 9.Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій множині.

Теорема 10.Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій множині є як найменші, так і найбільші.

Теорема 11(про нуль неперервної функції). Нехай функція неперервна на зв'язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

Теорема 12 (про проміжне значення). Нехай функція неперервна на зв'язаній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень та . Тоді на цій множині вона набуває будь-яких значень , яке лежить між і , тобто існує така точка , що .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве