WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функції багатьох змінних - Реферат

Функції багатьох змінних - Реферат

Реферат на тему:

Функції багатьох змінних

Множини точок на площиніта в n-вимірному просторі

Упорядкованій парі чисел на координатній площині відповідає одна точка . Аналогічно, в n-вимірному просторі n упорядкованим дійсним числам відповідає одна точка , де числа будуть координатами цієї точки. З метою скорочення запису далі розглядатимемо множини точок на площині, але подані далі означення можна вважати правильними і в разі n-вимірного простору.

Означення. Множина точок називається зв'язною, якщо будь-які її дві точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії належали цій множині.

Приклад. На рис. 5.1 у випадку а) буде зв'язна множина, а у випадку б) — не зв'язна.

а) б)

Рис. 5.1

Означення. Множина точок називається обмеженою, якщо всі її точки належать множині точок круга скінченного радіуса.

Приклад. На рис. 5.2 у випадку а) маємо обмежену множину, а у випадку б) — необмежену.

а) б)

Рис. 5.2

Означення. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність

(5.1)

називається -околом точки.

Зауваження. У випадку двовимірного простору нерівність (5.1) можна подати у вигляді

(5.2)

Рис. 5.3

Вона означає внутрішність круга з радіусом та з центром у точці (рис. 5.3).

Якщо з -околу точки вилучимо саму точку , дістанемо виколотий -окіл точки .

Означення.Точка називається внутрішньою для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм -околом, і зовнішньою, якщо існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині.

Означення. Зв'язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок, називається відкритою областю (або просто областю).

Область позначатимемо:

.

(Читаємо: область D є множина точок площини з координатами (х; у), таких що

У частинному випадку, коли D — прямокутник, область позначатимемо

.

Приклад. На рис. 5.4 множина точок D — область:

.

Означення. Точка називається межовою для області, якщо в будь-якому її -околі існують точки, що не належать області і належать їй.

Означення. Множина межових точок називається межею області.

Означення. Область, об'єднана зі своєю межею, називається замкненою областю.

Приклад. На рис. 5.5 — замкнена область, — рівняння межі області, К — внутрішня, L — зовнішня, М — межова точка.

Означення. Множина називається опуклою, якщо будь-які точки множини можна зв'язати відрізком, який буде належати цій множині.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.1.2. Означення функціїбагатьох змінних

Означення. Якщо кожній точці множини Dn-вимірного простору поставлено у відповідність за деяким законом одне і тільки одне дійсне число , то кажуть, що в області задано функцію n незалежних змінних . При цьому D називають областю визначення функції, Еобластю значень функції.

Згідно з означенням функцію можна розглядати як функцію точки і записувати .

Зокрема, при n = 2 говорять, що задана функція двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність тільки одне число z. Для прикладних питань економіки має значення розгляд функції двох або трьох незалежних змінних. Тому в подальшому більше уваги звертатимемо на ціфункції.

Наведемо приклади функції двох змінних.

Приклад. Витратами на виробництво даного виробу при даній техніці виробництва є функція матеріальних витрат x і витрат на оплату робочої сили y: .

Це є функція витрат виробництва.

Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних змінних K, L, яка називається функцією виробництва, або функцією Кобба—Дугласа, де K — кількість капіталу, L — кількість праці, яку вкладено у виробництво .

Приклад. Припустимо, що предметами споживання будуть два товари А та В, ціни яких відповідно становлять p1 та p2. Якщо ціни інших товарів сталі, а прибуток споживачів та структура споживань не змінюються, то попит та пропозиція кожного з товарів залежить від їх цін.

Маємо функцію попиту на товар А: ; функцію попиту на товар В: ; функцію пропозиції товару А: ; функцію пропозиції товару В: .

Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:

аналітично (у вигляді формули), наприклад:

 ,

таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

у

х

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

2

4

6

8

3

3

6

9

12

4

4

8

12

16

таблицею задана функція ;

графічно:

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Кожній парі чисел x та y відповідає точка площини Оxy. У точці проводимо пряму, перпендикулярну до площини Оxy, та позначаємо на ній відповідне значення функції z; дістаємо в просторі точку Q з координатами , яка позначається символом . Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, утворюють певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції.

Зауваження. На практиці побудувати графік функції важко, адже йдеться про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається.

Приклад. Графічне зображення функції є площина, яка проходить через точки (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) (рис. 5.7).

Рис. 5.7 Рис. 5.8.

Графічне зображення функції є півкуля (рис. 5.8).

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — зображення за допомогою ліній рівня.

Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень.

Рівняння ліній рівня записують у вигляді .

Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на них функція, дістанемо наближене уявлення про зміну функції. Елементарний приклад зображення функції за допомогою ліній рівня є зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями рівня висоти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної місцевості.

Знаходження області визначення функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.

Приклад. Знайти область визначення функції та надати їй геометричну інтерпретацію.

 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

.

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на координатній площині, а саме: ; .

Рис. 5.9

3. Визначаємо за допомогою контрольних точок , розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 5.9).

Границя функції двох змінних

Означення. Число B називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які анало-гічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Теорема 2. Якщо функція має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 3. Якщо ,

і в деякому околі точки виконується нерівність , то .

Теорема 4. Нехай , . Тоді:

1) ;

2) ;

3) .

Приклад. Обчислити .

 Згідно з теоремами про арифметичні операції з границями, а також те, що границя сталої дорівнює сталій, тобто , , маємо


 
 

Цікаве

Загрузка...