WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Застосування похідної - Реферат

Застосування похідної - Реферат

. (4.22)

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) — коефіцієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено показує, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною) , то попит вважають еластичним, якщо — нееластичним відносно ціни (або доходу). Якщо , то йдеться про попит з одиничною еластичністю.

Визначимо, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни на сумарний прибуток при реалізації продукції. Вище ми вважали криву попиту — лінійною функцією; тепер припустимо, що — довільна функція. Знайдемо граничний прибуток:

.

Згідно з формулою (4.22) для еластичності взаємно обернених функцій еластичність попиту відносно ціни обернена еластичності ціни відносно попиту, тобто , а також те, що , отримаємо при довільній кривій попиту:

. (4.23)

Якщо попит не є еластичним, тобто , то відповідно до (4.22) граничний дохід буде від'ємний при будь-якій ціні; якщо попит еластичний, тобто , то граничний прибуток додатний. Таким чином, для нееластичного попиту зміна ціни та граничного прибутку відбувається в одному напрямку, а для еластичного попиту — в різних. Це означає, що зі зростанням ціни для продукції еластичного попиту сумарний прибуток від реалізації продукції збільшується, а для товарів нееластичного попиту — зменшується. На рис. 4.22 на кривих прибутків виділені області еластичного та нееластичного попиту.

Приклад. Залежність між витратами виробництва у і об-сягом продукції х, що випускається, визначається функцією (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.

 Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють (грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною ; при х = 10 граничні витрати складають (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

Приклад. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд грош. од.) виражається функцією . Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд грош. од.

 За формулою (4.21) еластичність собівартості

.

При х = 60 , тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

Приклад. За допомогою досліду були встановлені функції попиту та пропозиції , де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

 а) Рівноважна ціна визначається з умови , , звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.

б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою (4.21):

.

Для рівноважної ціни р = 2 маємо .

Оскільки отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 0,3 = 1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.

Формула Тейлора

Допустимо, що функція має всі похідні до -го порядку включно на деякому проміжку, який містить точку Знайдемо многочлен степеня, не більшого за n, значення якого в точці дорівнює значенню функції f(x) в цій точці, а значення його похідних до n-го порядку в точці дорівнюють значенням відповідних похідних від функції f(x) у цій точці

(4.24)

Шукатимемо цей многочлен у формі многочлена за степенями з невідомими коефіцієнтами

(4.25)

Продиференціювавши n разів вираз (4.25), дістанемо:

(4.26)

Візьмемо у виразах (4.25) та (4.26) х = а. Результат підставимо в рівності (4.24), маємо:

Звідки: (4.26)

Підставляючи знайдені значення (4.26) у формулу (4.25), одержимо шуканий многочлен у вигляді:

(4.27)

Позначимо через різницю значень заданої функції та побудованого многочлена

звідки

або, у розгорнутому вигляді:

(4.28)

називається залишковим членом у формулі Тейлора (4.28). Для тих значень х, для яких залишковий член малий, многочлен дає наближене подання функції f(x).

Оцінимо залишковий член при різних значеннях х, для цього запишемо його в вигляді

(4.29)

де — невідома функція.

Згідно з (4.29) формула (4.28) запишеться так:

(4.30)

Для значень t (t лежить між величинами а та х) введемо допоміжну функцію:

(4.31)

Знайдемо похідну від функції (4.31):

або, після скорочення:

(4.32)

На основі формул (4.30) та (4.31) можна встановити:

Таким чином, функція задовольняє умови теореми Ролля  між величинами а та х існує таке значення при якому Згідно з (4.32) маємо

або

Підставляючи цей вираз у формулу (4.29), маємо:

Здобута рівність називається залишковим членом у формі Лагранжа.

Оскільки величина  лежить між величинами х та а, то її можна подати у вигляді де тоді формула для залишкового члена набирає вигляду:

Вираз

називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.

Узявши у формулі а = 0, дістанемо формулу Маклорена:

(4.33)

4.4.11. Розклад за формулою Маклоренафункцій

Розклад функції Послідовно диференціюючи функцію дістаємо:

Підставляючи здобуті вирази у формулу (4.33), маємо:

Нехай Оцінка залишкового члена в цьому разі така:

При х = 1 маємо формулу для знаходження наближеного значення числа е:

при цьому допущена похибка не перевищує числа або 0,00001.

Можна також показати, що для будь-яких

Таким чином, для будь-яких взявши достат-нє число членів, можна обчислити з заданим степенем точності.

Розклад функції Знаходимо послідовно похідні від

Підставляючи здобуті значення у формулу (4.33), дістаємо розклад функції за формулою Маклорена:

Оскільки то для всіх

Застосуємо здобуту формулу для наближеного обчислення sin 20. Візьмемо n = 3, тобто обмежимося двома першими членами розвинення:

Оцінимо зроблену похибку, яка дорівнює залишковому члену:

Розклад функції Знаходячи значення послідовних похідних при х = 0 від функції та підставляючи у формулу Маклорена, дістаємо:

Тут при всіх

Розклад функції

Тут при

Розклад функції

Тут при

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве