WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Застосування похідної - Реферат

Застосування похідної - Реферат

План дослідження функцій і побудови їхніх графіків

При дослідженні функцій треба:

1. Знайти область визначення функції.

2. Встановити парність (непарність) і періодичність функції.

3. Знайти точки розриву функції та їх характер.

4. Визначити точки перетину графіка функції з осями координат.

5. Знайти точки екстремуму та обчислити значення функції у цих точках.

6. Визначити інтервали зростання й спадання функції.

7. Знайти точки перегину, інтервали випуклості й вгнутості.

8. Знайти асимптоти.

9. Знайти граничні значення функції, коли х прямує до граничних точок області визначення.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

 1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х за винятком значення х = 1. Звідси її область визначення .

2. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

.

Як ліворуч, так і праворуч точки х = 1 маємо нескінченний розрив.

Точка х = 1 — точка розриву другого роду.

3. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

4. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат: з віссю Ох: у = 0, ; з віссю Оу: х = 0, .

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції, результати заносимо у табл. 4.3:

— критична точка. При не існує, але у цій точці сама функція теж не існує. Дослідимо критичну точку х = 0 на екстремум:

при ;

при .

Таблиця 4.3

х

0

(0, 1)

1

0

+

Не існує

у

ymin (–1)

Не існує

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з "–" на "+", через це в точці х = 0 функція має мінімум:

.

У точці х = 1 функція не визначена. При , отже, функція на цьому інтервалі спадає.

6. Точки перегину та інтервали опуклості й вгнутості графіка функції знаходимо за допомогою другої похідної:

; при х = 1 не існує, але в цій точці не існує і сама функція.

Дослідимо точку :

при ;

при .

Друга похідна, проходячи через , змінює знак, отже, точка перетину кривої з цією абсцисою є точкою перегину.

Знайдемо її ординату:

.

Таким чином, точка — точка перегину.

У точці х = 1 функція не визначена. При , значить, графік функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл. 4.4.

Таблиця 4.4

х

+

0

+

Не існує

+

у

Перегин (– 8/9)

Не існує

7. Рівняння похилої асимптоти знаходимо у вигляді :

Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).

На підставі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки на рис. 4.21: (–5; – 0,3), , (2; 3), (3; 1,3).

Рис. 4.21

Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.

За період часу від t0 до кількість виробленої продукції зміниться від значення до значення ; тоді середня продуктивність праці за цей період часу . Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до при , тобто

.

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.

Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.

Витрати виробництва у будемо розглядати як функцію кількості продукції х, що виробляється. Нехай — приріст продукції, тоді — приріст витрат виробництва і — середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний дохід, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об'єкта. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об'єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди має змогу використовувати граничні величини у зв'язку з неподільністю багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервністю (дискретністю) економічних показників у часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких випадках можна знехтувати дискретністю показників і ефективно використовувати граничні величини.

Розглянемо, наприклад, співвідношення між середнім та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний дохід (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q, тобто r = pq.

В умовах монополії одна або кілька фірм повністю контролюють пропозицію певної продукції, а отже, і її ціну. При цьому, як правило, зі збільшенням ціни попит на продукцію падає. Вважаємо, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту p (q) є лінійна спадна функція , де . Звідси сумарний дохід від реалізованої продукції складає (див. рис. 4.22). У цьому разі середній дохід на одиницю продукції , а граничний прибуток, тобто додатковий дохід від реалізації одиниці додаткової продукції, складатиме (див. рис. 4.22). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього прибутку.

В умовах досконалої конкуренції, коли на ринку функціонує велика кількість учасників і кожна фірма не здатна контролювати рівень цін, стабільна реалізація продукції можлива при домінуючій ринковій ціні, наприклад, p = b. При цьому сумарний прибуток становитиме r = bq і відповідно середній прибуток ; граничний прибуток (див. рис. 4.23). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Рис. 4.22 Рис. 4.23

Для дослідження економічних процесів та розв'язування інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Означення.Еластичністю функції називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при :

. (4.21)

Еластичність функції наближено показує, на скільки відсотків зміниться функція при зміні незалежної змінної х на 1%.

Визначимо геометричний зміст еластичності функції. За означенням (4.21) , де — тангенс кута нахилу дотичної в точці М (х, у) (див. рис. 4.24). Враховуючи, що з трикутника МВN, МС = у, а з подібності трикутників МВN та АМС дістанемо , тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до графіка функції А і В містяться по один бік від точки М, то еластичність додатна (див. рис. 4.24), якщо по різні боки, то від'ємна (див. рис. 4.25).

Рис. 4.24 Рис. 4.25

Властивості еластичності функції.

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції , тобто

.

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:

, .

3. Еластичності взаємно обернених функцій — взаємно обернені величини:

Loading...

 
 

Цікаве