WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Застосування похідної - Реферат

Застосування похідної - Реферат

1. Знаходимо першу похідну функції, тобто .

2. Обчислюємо критичні значення аргументу х (критичні точки), для цього:

а) прирівнюємо першу похідну до нуля і знаходимо дійсні корені здобутого рівняння ;

б) знаходимо значення х, для яких похідна має розрив.

3. Досліджуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Оскільки знак похідної залишається сталим в інтервалі між двома критичними точками, для дослідження знака похідної ліворуч і праворуч, наприклад від критичної точки х2 (див. рис. 4.13), досить визначити знак похідної в точках і , де х1 і х3 — найближчі критичні точки).

4. Обчислюємо значення функції у кожній критичній точці.

Приклад. Дослідити на максимум і мінімум функцію .

 1. Знаходимо першу похідну .

2. Знаходимо дійсні корені рівняння . Звідки .

Похідна скрізь неперервна. Значить, інших критичних точок для заданої функції не існує.

3. Досліджуємо критичні значення. Для цього область визначення функції здобутими критичними точками розбиваємо на три інтервали , (1, 3), ().

Виберемо в кожному інтервалі по одній точці і обчислимо значення похідної в цих точках:

;

;

.

Знак похідної на кожному з трьох інтервалів збігається зі знаком похідної в обраній точці відповідного інтервалу (табл. 4.1).

З таблиці видно: при переході (зліва направо) через значеннях = 1 похідна змінює знак з "+" на "–". Звідси, при х = 1 функція має максимум:

.

Таблиця 4.1

х

(– , 1)

1

(1, 3)

3

(3, + )

+

0

0

+

у

При переході через значення х = 3 похідна змінює знак з "–" на "+". Звідси, при х = 3 функція має мінімум:

.

На інтервалі:

1) — функція зростає;

2) (1, 3) — спадає;

3) — зростає.

Крім того,

.

На основі проведеного дослідження будуємо графік функції (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Теорема 2 (друге правило). Якщо для диференційовної функції у деякій точці х0 її перша похідна дорівнює нулю, а друга похідна існує й відмінна від нуля, тобто , , то:

1) якщо друга похідна , то в точці х0 функція має мінімум;

2) якщо — максимум;

3) якщо — питання залишається відкритим, і для його розв'язання треба застосувати перше правило.

Зауваження. Для критичних точок, в яких похідна функції неіснує або дорівнює нескінченності, друге правило не застосовується.

Приклад. За допомогою другої похідної дослідити на екстремум функцію .

 Перша похідна цієї функції перетворюється в нуль у точках х = 1 і х = 3 (див. попередній приклад).

Друга похідна :

а) при х = 1 , звідси в точці х = 1 функція має максимум ;

б) при х = 3 , тобто в точці х = 3 функція має мінімум (див. рис. 4.14).

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Якщо функція неперервна на проміжку [a; b], то вона набуває на цьому проміжку свого найбільшого й найменшого значення.

Найбільше значення функції на проміжку [a; b] називається абсолютним максимумом, а найменше — абсолютним мінімумом.

Припустимо, що на даному проміжку функція має скінченне число критичних точок. Якщо найбільше значення досягається в середині проміжку [a; b], то очевидно, що це значення буде одним із максимумів функції (якщо існує кілька максимумів), точніше — найбільшим максимумом. Однак можливо, що найбільше значення досягатиметься на одному з кінців проміжку.

Таким чином, функція на відрізку [a, b] досягає свого найбільшого значення на одному з кінців цього проміжку або в такій точці його, яка є точкою максимуму.

Аналогічне твердження можна сформулювати й про найменше значення функції: воно досягається на одному з кінців даного проміжку або в такій внутрішній точці, яка є точкою мінімуму.

Правило. Якщо треба знайти найбільше значення неперервної функції на проміжку [a, b], то необхідно:

1) знайти всі максимуми функції на проміжку;

2) визначити значення функції на кінцях проміжку, тобто обчислити f (a) і f (b);

3) з усіх отриманих значень функції вибрати найбільше: воно й буде найбільшим значенням функції на проміжку.

Аналогічно треба діяти і при визначенні найменшого значення функції на проміжку.

Приклад. Визначити на проміжку найбільше й найменше значення функції .

1. Знаходимо максимуми й мінімуми функції на проміжку :

;

.

Таким чином, у точці х = 1 маємо мінімум: .

Рис. 4.15

Далі, , тобто в точці х = = –1 маємо максимум: .

2. Визначаємо значення функції на кінцях проміжку:

.

3. Таким чином, найбільше значення заданої функції на проміжку є: , а найменше — .

Графік функції зображено на рис. 4.15.

4.4.6. Опуклість і вгнутість кривої.Точка перегину

Означення. Крива на проміжку називається опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

З графіка функції (рис. 4.16) бачимо: крива є опуклою на проміжку (а, с) і вгнутою на проміжку (с, b).

Означення. Точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, називається точкою перегину. На рис. 4.16 точка М — точка перегину.

Наведемо дві теореми.

Теорема 1. 1) Якщо в усіх точках проміжку (с, b) для функції друга її похідна додатна , то графік функції вгнутий.

2) Якщо в усіх точках проміжку (а, с) друга похідна від'ємна , то графік функції випуклий.

Теорема 2. Якщо для функції друга похідна її у деякій точці х0 перетворюється на нуль або не існує й при переході через цю точку змінює свій знак на обернений, то точка є точкою перегину графіка функції.

Рис. 4.16



Рис. 4.17


Зауваження. Якщо у точці х0 друга похідна дорівнює нулю або не існує, але при переході через цю точку не змінює свого знака, то точка не є точкою перегину.

Приклад. Знайти інтервали опуклості та вгнутості графіка функції .

 Маємо .

Друга похідна перетворюється в нуль, коли

, звідки .

При переході через точки х1 і х2 друга похідна змінює знак. Таким чином, точки і є точками перегину графіка функції (рис. 4.17).

Результати дослідження заносимо в табл. 4.2.

Таблиця 4.2

х

+

0

0

+

у

Перегин

Перегин

Із цієї таблиці бачимо, що графік функції на інтервалах і вгнутий, а на інтервалі — опуклий.

4.4.7. Асимптоти

Рис. 4.18

Змінна точка М рухається по кривій у нескінченність, ко-ли відстань від цієї точки до початку координат необмежено зростає.

Означення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань d від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля (4.18). Асимптоти бувають вертикальні й похилі.

Вертикальні асимптоти. Якщо

Рис. 4.19

, або ,

або , то пряма х = а є вер-тикальною асимптотою для графіка функції .

Приклад. Крива має вертикальну асимптоту х = 5, оскільки (рис. 4.19).

Похилі асимптоти. Нехай крива має похилу асимптоту , тоді

. (4.20)

Якщо хоча б одна з границь (4.20) не існує, то крива похилих асимптот у відповідній напівплощині не має.

Приклад. Визначити асимптоти кривої .

 1. Оскільки

,

то пряма х = 0 (вісь Ох) є вертикальною асимптотою.

Рис. 4.20

2. Нехай похила асимптота має рівняння , тоді

Отже, пряма — похила асимптота для графіка функції (рис. 4.20).

Loading...

 
 

Цікаве