WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціал функції однієї змінної - Реферат

Диференціал функції однієї змінної - Реферат

Реферат на тему:

Диференціал функції однієї змінної

Означення диференціалу функції

Нехай функція у= f(х) диференційовна на деякому проміжку, тобто для будь-якої точки х з цього проміжку границя існує і дорівнює скінченному числу.

Враховуючи взаємозв'язок змінної величини, що має скінченну границю, і нескінченної малої величини, можемо записати , де — нескінченно мала величина ( при ).

Помноживши всі члени останньої рівності на , дістанемо

. (4.8)

З виразу (4.8) випливає, що приріст функції складається із суми двох доданків, з яких перший доданок — так звана головна частина приросту, лінійна відносно (при добуток є нескінченно мала величина першого порядку відносно ). Другий доданок — добуток завжди нескінченно мала величина вищого порядку, ніж .

Означення. Добуток називається диференціалом функції у = f (х); його позначають символом dy, тобто

(4.9)

Знайдемо диференціал функції у = х; для цього випадку , отже, . Таким чином, диференціал незалежної змінної збігається з її приростом . З огляду на це формулу для диференціала (4.9) можна записати так:

. (4.10)

Приклад. Знайти диференціал dy функції : 1) при довільних значеннях х та ; 2) при х = 20, = 0,1.

 1) ;

2) якщо х = 20, = 0,1, то .

Приклад. Знайти диференціал dy функції .

 Оскільки , то за формулою (4.10) дістанемо

.

4.2.2. Застосування деференціалав наближених обчисленнях

Вираз (4.8) з урахуванням (4.9) можна записати так:

. (4.11)

Якщо , то величина є малою вищого порядку порівняно з dy.

При малих доданком у виразі (4.11) нехтують і користуються наближеною рівністю , або в розгорнутому вигляді: , звідки

. (4.12)

Остання наближена рівність тим точніша, чим менше .

Приклад. Обчислити наближено .

Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:

, звідки . (4.13)

При обчисленні введемо функцію , тоді .

Формула (4.12) у нашому випадку запишеться так:

, де .

Інакше

. (4.14)

Підставивши (4.14) у рівність (4.13), дістанемо

.

Правила знаходження диференціала

Застосовуючи формулу (4.10) та властивості похідних, дістаємо правила знаходження диференціала:

1. у = с; dy = 0; 3.

2. ; 4. .

Теорема. Форма диференціала не залежить від того, чи є аргумент незалежною змінною або функцією.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве