WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Похідна функції - Реферат

Похідна функції - Реферат

Реферат на тему:

Похідна функції

Означення похідної

Нехай функція визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при :

. (4.1)

Якщо границя (4.1) існує і скінченна, вона називається похідною функції за змінною х і позначається

.

Означення.Похідноюфункції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

Приклад. Функція у = х2. Знайти похідну в точках х = 3 і х = – 4.

 Надамо аргументу х приросту , тоді функція набуде приросту

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, .

Похідна в точці х = 3 , а похідна при х = – 4 буде .

Приклад., де .

 Надавши аргументу приросту , дістанемо приріст функції . Тепер знайдемо границю відношення при :

, тобто

Приклад. .

 Користуючись відомою з тригонометрії формулою

,

знайдемо приріст функції у точці і обчислимо границю:

,

;

.

Аналогічно можна дістати: .

Приклад. .

 Для цієї функції маємо

,

тобто .

Геометричний зміст похідної

Означення.Дотичною до кривої L у точці М називається граничне положення МN січної ММ1 при прямуванні точки М1 по кривій L до точки М (рис. 4.1).

Нехай крива, задана рівнянням , має дотичну в точці М (х, у). Позначимо (рис. 4.2) кутовий коефіцієнт дотичної МN: . Надамо в точці х приросту , тоді ордината у набуде приросту .

З випливає, що . Коли , то і січна прямує до положення дотичної МN.

Таким чином, .

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Оскільки , то тобто похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Механічний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у да-ний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М0, а в момент часу точка опинилася на відстані від початкової точки й зайняла положення М1. Отже, час t набув приросту , а шлях х — приросту . Середня швидкість руху точки М за час описується формулою .

Якщо точка М рухається рівномірно, то Vcр є величина стала, і її беруть за швидкість точки. Для нерівномірного руху точки очевидно, що для достатньо близьких значень до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t беруть величину

,

яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає механічний зміст похідної.

Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої

Нехай функція у = f (t) означена і неперервна на деякому проміжку [a; b]. Визначимо рівняння дотичної й нормалі до графіка функції у = f (x) у точці з абсцисою .

Оскільки дотична й нормаль проходять через точку з абсцисою х0, то рівняння кожної з них будемо шукати у вигляді рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 (х0; у0) у даному напрямі (рис. 4.4):

, (4.2)

де k кутовий коефіцієнт дотичної. Використовуючи геометричний зміст похідної, маємо .

Рис. 4.4

Рівняння дотичної. Оскільки , то з виразу (4.2) ді-станемо рівняння дотичної у вигляді

. (4.3)

Рівняння нормалі. Означення.Нормаллю до графіка функції в точці М0 називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис. 4.4).

Використовуючи умову перпендикулярності дотичної та нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі і записуємо її рівняння у вигляді

. (4.4)

Приклад. Знайти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х2 у точці з абсцисою х0 = – 3.

 Знайдемо похідну від заданої функції , звідси .

Рівняння дотичної (4.3) і нормалі (4.4) запишуться так: або у загальному вигляді: 6х + у ++ 9 = 0, х – 6у + 57 = 0.

Залежність між неперервністю і диференційовністю функції

Функція у = f (x) є неперервною в точці х, якщо у цій точці .

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною в точці, якщо у цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:

.

Означення.Функція у = f (x) називається диференційовною на інтервалі (а; b), якщо вона диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

Зв'язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює теорема.

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці функція неперервна.

Обернене твердження неправильне: для неперервної функції може не існувати похідної.

Справді, нехай функція диференційовна в точці . Запишемо тотожність , звідси

Таким чином, функція неперервна в точці .

Рис. 4.5

Наслідок. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної в цій точці.

Прикладом неперервної функції, що не має похідної в одній точці, є функція (рис. 4.5). Ця функція неперервна при х = 0, але не ди-ференційовна для цього значення, оскільки в точці з абсцисою х = 0 не існує дотичної до графіка функції.

Таким чином, необхідною умовою диференційовності функції у = f (х) у точці х є її неперервність у цій точці.

Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Loading...

 
 

Цікаве