WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Границя числової послідовності - Реферат

Границя числової послідовності - Реферат

Реферат на тему:

Границя числової послідовності

Поняття числової послідовності та її границі

Означення. Числова функція , область визначення якої є множина натурального ряду чисел, називається числовою послідовністю, або просто послідовністю, і позначається , надалі писатимемо

Значення називаються членамипослідовності. Послідовність вважається заданою, якщо задано n-й член послідовності.

Приклад. Записати три перші члени послідовності . Маємо

Приклад. За заданими трьома першими членами послідовності знайти формулу n-го члена.

Задача розв'язується методом добору з наступною перевіркою .

Означення. Число а називається границею послідовності, якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів виконується нерівність .

Позначення або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори:  — для будь-якого, будь-який;  — існує, знайдеться; : = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо -окіл числа а, тобто інтервал (а – ; а + ), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Означення. Число а називається границею послідовностіxn, якщо для будь-якого -околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в -околі точки а (див. рис. 3.12).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Приклад. Довести за означенням, що .

Зауважимо, що n-й член послідовності ; сама послідовність така: . Для доведення потрібно за заданим знайти номер послідовності N,такий, що при всіх номерах виконуватиметься нерівність . Розв'яжемо останню нерівність відносно n:

Виберемо* . Тоді при нерівність виконується, а отже, виконується і нерівність , чим доведено, що Отже, для доведення за означенням певної границі послідовності досить побудувати функціональну залежність N від числа , тобто знайти функцію N(). У розглянутому прикладі функція , і за заданим будь-яким завжди можна знайти відповідний номер N; наприклад при , при нерівність виконується.

3.2.2. Загальні властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий номер N, що при всіх виконується нерівність .

Приклад. Послідовність у розгорнутому вигляді така: . Для номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто

3.2.3. Нескінченно мала величина та її властивості

Означення. Послідовність називається нескінченно малою величиною (н. м. в.), якщо .

Приклад. — н.м.в., бо .

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

Приклад. Обчислити . Послідовність — н.м.в., бо є добутком обмеженої величини і н.м.в. .

Таким чином, за теоремою 2 .

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 4. Для існування границі а послідовності xnнеобхідно і достатньо, щоб послідовність була н.м.в.

Наслідок. Якщо , то , де — н.м.в.

3.2.4. Нескінченно велика величина. Зв'язок між нескінченно великоюі нескінченно малою величинами

Означення. Послідовність xn називається нескінченно великою величиною (н.в.в.), якщо для будь-якого числа , яке б велике воно не було, існує номер N,такий, що при всіх виконується нерівність .

Якщо члени н.в.в., починаючи з деякого номера, всі додатні, то позначають якщо від'ємні, то — а якщо різних знаків, то —

Наприклад:

1)

2)

3)

Аналітичною мовою означення н.в.в. виглядає так:

За своїм означенням, н.в.в. — необмежена, але не кожна необмежена величина є н.в.в., наприклад послідовність 1, 0, 3, 0, 5, 0, ... з членом — величина необмежена, але н.в.в. не буде. Справді, не всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно великими.

Теорема. Зв'язок між н.в.в. і н.м.в.

1. Якщо — н.м.в. і , то обернена до неї послідовність буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо yn — н.в.в., то обернена до неї — н.м.в.

3.2.5. Граничний перехідпри арифметичних операціях

Теорема. Якщо існують границі , то:

1)

2)

3)

За допомогою теореми можна виконувати граничний перехід при арифметичних операціях з послідовностями, але тільки в тих випадках, коли послідовності збіжні.

Приклад. .

На практиці такі докладні записи граничного переходу виконують рідко; як правило, граничний перехід при арифметичних операціях виконується усно.

Якщо умови теореми порушуються, то вираз під знаком границі спочатку перетворюють таким чином, щоб арифметичні дії виконувалися зі збіжними послідовностями, а потім виконують граничний перехід.

Приклад.

3.2.6. Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність і — збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

Приклад. Довести, що при . При доведення очевидне. Нехай , тоді послідовність — монотонно спадна (див. рис. 3.8) і обмежена знизу . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність має границю, яку позначимо так: . Послідовність , за винятком першого члена, збігається з послідовністю , отже, . Звідси випливає, що , тобто або , але , отже, . Нехай тепер .

Розглянемо

Приклад.

3.2.7. Число е

Розглянемо послідовність . Можна довести, що ця послідовність монотонно зростає і обмежена . За теоремою Вейєрштрасса існує границя цієї послідовності, яку позначають так: .

Зазначимо, що число е = 2,7183... є основою натуральних логарифмів Взагалі, число е, як і число  = 3,14 ..., широко застосовується в різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом.

Задача. Суму а грн покладено в банк при р % річних. Як збільшиться ця сума за один рік, якщо вклад безперервно забирати і знову класти в банк?

Нехай вклад буде недоторканним цілий рік, тоді його приріст а вся сума .

Якщо вклад зняли через півроку і відразу поклали на півроку, то приріст за перше півріччя буде , а за друге — . Отже, вся сума за року буде

Аналогічно можна вважати, що коли брати з банку і знову класти 3 рази на рік, то за рік сума буде така:

,

а за рік

Розв'язком задачі буде границя

При сума для довільного р, як буде показано в підрозд. 3.4, .

Розглянемо деякі цифрові дані: при початковому вкладі , в умовах даної задачі, при річних сума за рік буде грн 83 коп. (а не 200 грн, якщо вклад не знімали цілий рік); при річних S = 102 грн 2 коп. (а не 102 грн, якщо вклад не знімати цілий рік).

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

* Символом позначено цілу частину числа .

Loading...

 
 

Цікаве