WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функція - Реферат

Функція - Реферат

Реферат на тему:

Функція

Поняття функціональної залежності

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі вона набуває різних (тільки одного) значень.

Розглянемо дві змінні величини х D R i y E R.

Означення. Функцієюy = f(x) називається така відповідність між множинами D i E, за якої кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна, або аргумент;

у — залежна змінна, або функція;

f — символ закону відповідності;

D область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Означення. Функція у = F(u), де u = (x), називається складною (складеною) функцією, або суперпозицією функцій F(u) та (х), і позначається y = F( (x)).

Приклад. — cкладна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2u, u = v2, v = sin x.

Приклад. , де , . Оскільки , то .

Означення. Нехай функція у = f(x) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даноїу = f(x); її позначають у = f–1(x).

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:

Приклад. — взаємно обернені функції:

.

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається неявною, якщо її задано рівнянням F(x, y) = 0, яке не розв'язане відносно змінної у.

Приклад. Рівняння визначає неявну функцію у від х.

Означення. Система рівнянь

визначає параметричну залежність функції у від змінної х (t—параметр).

Вираз самої залежності у від х можна дістати виключенням параметра t з останньої системи рівнянь.

Приклад. Параметрична залежність

визначає коло радіуса r з центром у початку прямокутної декартової системи координат. Справді, зводячи до квадрата параметричні рівняння і підсумовуючи результат, дістаємо: , або .

Загальні властивості функцій

Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад. Знайти область визначення функції

.

D(y) = (– 1; 0) (0; 1] — природна область визначення. Якщо за умовою задачі х — відстань, а це означає, що х  0, тоді D(y) = (0; 1] — задана область визначення.

Означення. Функція y = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого хD виконується умова f(– x) = f(x) (f (– x) = – f(x)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D, f(– x)   f(x).

Приклад. y = cos x — парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. 3.2)), бо y(x) = cos(– x) = cos x = = y(x); y = arctg x — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо y(– x) = arctg(– x) = – arctg x = – y(x); y = arccos x — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо y(– x) = arccos(– x) =  – arccos x   y(x).

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Означення. Функція називається періодичною, якщо для виконується умова де число Т — період функції.

Приклад. — періодична функція з мінімальним періодом Т = (див. рис. 3.5), бо

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Означення. Функція називається обмеженою на множині D, якщо для всіх виконується умова де — деяке скінченне число.

Приклад. — обмежена функція для всіх х  [– 1; 1] (рис. 3.6), бо .

Означення. Функція називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Приклад. — монотонно спадна функція при 0 < a <1, а при а > 1 — монотонно зростаюча (рис. 3.7).

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Елементарні функції

Основні з них:

1) степенева

2) показникова (рис. 3.8);

3) логарифмічна (рис. 3.7);

4) тригонометричні: (рис. 3.2); (рис. 3.9); (рис. 3.5); (рис. 3.10);

5) обернені тригонометричні: (рис. 3.6); (рис. 3.4); (рис. 3.5); (рис. 3.11).

Рис. 3.8

Рис. 3.9

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченної кількості алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:

— елементарна функція.

Означення. Функція називається алгебраїчною, якщо — розв'язок рівняння

де — многочлени.

Приклад. Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння

.

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

, або .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве