WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці(пошукова робота) - Реферат

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці(пошукова робота) - Реферат

функції часу . Тоді справедливі такі співвідношення:
(12.79)
де коефіцієнт нахилу до споживання ( ); автономне (кінцеве) споживання; норма акселерації. Всі функції, що входять в систему (12.79), додатні.
Будемо вважати, що функції і задані - вони є характеристиками функціонування і еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу або як функцію часу
Підставляючи вираз для із другого рівняння (12.79) і із третього рівняння в перше, одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку
Будемо вважати, що основні параметри задачі і постійні. Тоді рівняння стає лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами
(12.80)
Загальний розв'язок дорівнює сумі загального розв'язку однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв'язку неоднорідного рівняння. В якості частинного розв'язку рівняння (12.133) візьмемо так званий рівноважний розв'язок, коли тобто
(12.81)
Неважко замітити, що ця величина додатна. Загальний розв'язок однорідного рівняння так що загальний розв'язок рівняння (12.80) має вигляд
(12.82)
Інтегральні криві рівняння (12.80) показані на рис.12.5. Якщо в початковий момент часу то і криві йдуть вниз від рівноважного розв'язку (12.81),тобто національний дохід з часом падає при заданих параметрах задачі і оскільки показник в експоненти додатний. Якщо ж то і національний дохід росте - інтегральні лінії йдуть вверх від рівноважного розв'язку Для автономного диференціального рівняння (12.80) стаціонарна точка (12.81) є точкою нестійкої рівноваги.
12.13.4. Неокласична модель росту
Нехай національний дохід, де однорідна виробнича функція першого порядку, об'єм капіталовкладень (виробничих фондів), об'єм затрат праці. Якщо величина фондоозброєності , то продуктивність праці виражається формулою
(12.83)
Будемо вважати, що виконуються наступні припущення:
1) має місце природний приріст в часі трудових ресурсів
2) інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і на амортизацію, тобто
де норма амортизації.
Тоді, якщо норма інвестицій, або
Рис.12.5 Рис.12.6
Із визначення фондоозброєності випливає, що
Диференціюючи дану рівність по і підставляючи вирази і одержимо рівняння відносно невідомої функції
(12.84)
де визначається за формулою (12.83).
Стаціонарний розв'язок цього рівняння має вигляд
Розглянемо конкретну задачу: для виробничої функції знайти інтегральні криві рівняння (12.84) і стаціонарний розв'язок. Із (12.83) випливає, що і тоді рівняння (12.84) має вигляд
(12.85)
Стаціонарний розв'язок цього рівняння випливає із рівності
звідки ми отримаємо ненульовий частинний розв'язок рівняння (12.137):
Відокремлюючи змінні в рівнянні (12.85), одержимо
Інтегруючи це рівняння (заміною ), одержимо загальний розв'язок рівняння
(12.86)
Сімейство інтегральних кривих збігається зверху і знизу до стаціонарного розв'язку (рис.12.6): тобто при Отже, при незмінних вхідних параметрах задачі і функція фондоозброєності стійко прямує до стаціонарного значення незалежно від початкових умов. є точкою стійкої рівноваги.
12.13.5. Поняття про різницеві рівняння.
Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса
Рівняння виду
(12.87)
де фіксоване, а довільне натуральне число, члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням го порядку.
Розв'язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності що задовольняють рівняння (12.87). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв'язку диференціальних рівнянь.
Означення. Різницеве рівняння виду
(12.88)
де деякі функції від називається лінійним різницевим рівнянням го порядку.
У випадку, коли коефіцієнти є сталими, методи розв'язування такого класу рівнянь багато де в чому аналогічні
розв'язуванню лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Проілюструємо це на прикладі різницевих рівнянь другого порядку:
(12.89)
Загальний розв'язок рівняння (12.89) визначається за формулою
де загальний розв'язок однорідного рівняння а деякий частинний розв'язок неоднорідного рівняння (12.89). Для знаходження загального розв'язку однорідного рівняння складаємо характеристичне рівняння
1) Якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв'язок знаходиться за формулою
2) Якщо корені дійсні і рівні то
2) У випадку комплексних спряжених коренів загальний розв'язок має вигляд
Приклад. Розв'язати рівняння
Р о з в ' я з о к. Корені характеристичного рівняння
Тому загальний розв'язок однорідного рівняння
Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді Підставляючи цей вираз в наше рівняння, одержимо
Отже, і
Таким чином, загальний розв'язок рівняння має вигляд:
В якості прикладу, що ілюструє застосування різницевих рівнянь, розглянемо модель ділового циклу Самуельсона-Хікса (динамічний варіант моделі Кейнса). В цій моделі використовується так званий принцип акселерації, тобто припущення, що масштаби інвестування прямо пропорційні приросту національного доходу. Дане припущення характеризується рівнянням
(12.90)
де коефіцієнт фактор акселерації, величина інвестицій в період величини національного доходу відповідно в му і му періодах. Припускаємо також, що споживання на цьому етапі залежить від величини національного доходу на попередньому етапі, тобто
(12.91)
Умова рівності попиту і пропозиції має вигляд:
(12.92)
Підставляючи в (12.92) вирази та знаходимо
(12.93)
Рівняння (12.93) називається рівнянням Хікса. Воно представляє собою лінійне неоднорідне різницеве рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами (якщо припустити, що на протязі розглядуваних періодів величини і постійні).
Зауваження. Якщо припустити, що
(12.94)
можна легко знайти частинний розв'язок (12.93). В силу (12.94) із (12.93) одержимо
звідки
(12.95)
Вираз в формулі (12.95) називається мультиплікатором Кейнса і є одновимірним аналогом матриці повних затрат.
Loading...

 
 

Цікаве