WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці(пошукова робота) - Реферат

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці(пошукова робота) - Реферат

виражаються.
Приклад 7. Розв'язати систему рівнянь
Р о з в ' я з о к. Як звичайно, функції та шукаємо у вигляді :
Характеристичне рівняння системи
або
Розклавши вираз зліва на множники, отримаємо Отже, простий корінь, а кратний корінь , причому
При система (12.65) матиме вигляд
Ранг цієї системи дорівнює двом, а тому зведемо її до такої рівносильної системи
Поклавши, знайдемо: Отже, кореню відповідають розв'язки
При ( ) ранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:
Отже , і (маємо випадок 3а). Система (12.65) зводиться доодного рівняння або ( вільні змінні ).
Щоб знайти лінійно незалежні розв'язки, покладемо спочатку Тоді Далі покладемо Тоді Це дозволяє записати ще два рядки розв'язків: і
Склавши лінійну комбінацію одержаних розв'язків ( за стовпчиками) , отримаємо шуканий загальний розв'язок системи
Зауваження. Аналогічно розв'язуються системи лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака , в теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.
12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних
рівнянь із сталими коефіцієнтами
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд (12.61)
де причому неперервні на функції, , постійні числа.
Загальний розв'язок неоднорідної системи (12.61) дорівнює сумі загального розв'язку однорідної системи (12.62) і частинного розв'язку неоднорідної системи
(12.68)
Доведення цього твердження аналогічне доведенню для лінійного диференціального рівняння - го порядку.
Метод знаходження загального розв'язку однорідної системи розглядався в п.12.11.
Нехай загальний розв'язок системи (12.62). Тоді частинний розв'язок неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації довільних сталих
(12.69)
Диференціюючи рівність (12.118), одержимо
Підставляємо даний вираз в рівняння (12.61)
Але фундаментальна матриця задовольняє однорідне рівняння тому і ми одержимо рівняння
з якого знаходимо
Інтегруючи останню рівність, будемо мати
(12.70)
Інтегрування матриці означає інтегрування кожного її елемента. Підставляючи знайдену матрицю-стовпець в (12.118), знайдемо а за формулою (12.117) і загальний розв'язок неоднорідної системи.
Приклад 8. Розв'язати систему
Р о з в ' я з о к. Розглянемо однорідну систему
легко перевірити, що її загальний розв'язок буде
В матричній формі цей розв'язок виглядає так:
де
Крім того,
Знайдемо обернену до матрицю:
Тоді
Інтегруючи одержану матрицю, знаходимо
Тоді за формулою (12.69) маємо
Отже, частинний розв'язок має вигляд
Загальний розв'язок системи можна записати у формі
12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь
в економіці
Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.
12.13.1. Модель природного росту випуску продукції
Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Позначимо через кількість реалізованої продукції за час тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто:
(12.71)
де норма інвестиції (постійне число), причому
Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто
(12.72)
де норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо
(12.73)
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його загальний розв'язок а частинний розв'язок. Нехай в початковий момент часу заданий об'єм випуску продукції звідки
Тоді одержимо частинний розв'язок, що задовольняє початкову умову,
(12.74)
12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції
В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай спадна функція, тобто із збільшенням об'єму продукції на ринку ціна на нього не падає ( ). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
(12.75)
Оскільки всі члени в правій частині цього рівняння додатні, то тобто функція зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку
Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту
звідки або , оскільки а, значить і одержимо
(12.76)
Із рівняння (12.76) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли і графік функції має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті напрям випуклості функції вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).
Для простоти візьмемо залежність лінійну (рис.12.3), тобто
Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд
(12.77)
звідки
(12.78)
Із співвідношень (12.77) і (12.78) одержимо: і при при і при точка перегину графіка функції Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) - це логістична крива .
Рис. 12.3 Рис.12.4
Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.
12.13.3. Динамічна модель Кейнса
Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як
Loading...

 
 

Цікаве