WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи аналітичної геометрії в просторі - Реферат

Елементи аналітичної геометрії в просторі - Реферат

Реферат на тему:

Елементи аналітичної геометрії в просторі

Рівняння площини

Нехай задано прямокутну систему координат Охуz, площину , вектор , який має координати , і точку , яка належить площині (рис. 2.20).

Рис. 2.20

Точка М (х, у, z) — довільна точка площини. Ця точка належить площині лише в тому разі, коли вектори і взаємно перпендикулярні. Умова перпендикулярності векторів

. (2.25)

Останній вираз можна розглядати як векторне рівняння площини. Координати вектора дорівнюють відповідно хх0,

уу0, zz0. Записавши вираз (2.25) у розгорнутому вигляді, дістанемо рівняння площини, що проходить через задану точку:

(2.26)

Розкривши дужки в (2.26) і позначивши , дістанемо загальне рівняння площини:

(2.27)

Розглянемо тепер, як розміщена площина  відносно системи координат Охуz залежно від значень коефіцієнтів у рівнянні (2.27).

1. Нехай D = 0. У цьому випадку рівняння набирає вигляду . Точка О (0, 0, 0) задовольняє це рівняння, тобто належить площині. Це означає, що площина проходить через початок системи координат.

2. Нехай один із коефіцієнтів при змінних дорівнює нулю. Припустимо С = 0, А  0, В  0, D  0. Тоді рівняння набирає вигляду . Нормальний вектор перпендикулярний до осі Оz, оскільки його проекція на цю вісь дорівнює нулю. Отже, площина  паралельна цій осі. Якщо ще і D = 0, то площина містить вісь Оz, тому що паралельна їй і проходить через початок системи координат. Аналогічно можна розглянути випадки А = 0, В  0, С  0 і А  0, В = 0, С  0.

3. Розглянемо тепер випадок, коли два коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю. Нехай А = В = 0, С  0, D  0. Тоді площина Сz + D = 0 згідно з попереднім паралельна відразу осям Ох і Оу, а це означає, що вона паралельна площині Оху і, як наслідок, перпендикулярна до осі Оz. Якщо додатково і D = 0, то z = 0 — рівняння координатної площини Оху. Аналогічно можна розглянути випадки А  0, В = С = 0 і В  0, А = С = 0.

Кут між площинами, відстань від точки до площини

Розглянемо дві площини  і , які задано відповідно рівняннями

,

.

Рис. 2.21

Двогранний кут  між площинами  і  дорівнюватиме куту між векторами і , перпендикулярними до цих площин (рис. 2.21), тому

. (2.28)

Якщо площини взаємно перпендикулярні, то і, розкривши скалярний добуток у формулі (2.28), дістанемо умову перпендикулярності двох площин:

. (2.29)

Якщо площини  і  паралельні між собою, то їхні вектори і — колінеарні, а отже, відповідні координати пропорційні, і ми маємо умову паралельності двох площин

. (2.30)

За аналогією з формулою знаходження відстані від точки до прямої на площині можна записати формулу знаходження відстані від точки до площини . Вона набирає вигляду

.

Рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у прямокутній системі координат:

(2.31)

Зрозуміло, що ці площини мають бути непаралельними, тобто їхні нормальні вектори , — не колінеарні. Система (2.31) називається загальним рівнянням прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.

Канонічне рівняння прямої. Нехай у системі координат Охуz задано пряму l і ненульовий вектор , колінеарний цій прямій. Точка належить прямій, а напрямний вектор . Тоді довільна точка М (х, у, z) лежатиме на прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні:

. (2.32)

Рівняння (2.32) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.

Параметричне рівняння.

У рівнянні прямої (2.32) позначимо через t кожне з рівних відношень. Тоді

.

Звідси дістаємо:

Параметричне рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай дві точки і належать прямій у просторі. Тоді вектор можна розглядати як напрямний вектор прямої. Замінюючи ним вектор у рівнянні (2.32), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі

.

Маючи кілька рівнянь однієї й тієї ж прямої, поміркуємо, як дістати зв'язок між ними. Розглянемо, як із загального рівняння (2.31) вивести канонічне рівняння (2.32). Для цього потрібно знайти точку, яка лежить на прямій, тобто розв'язати систему (2.31), і напрямний вектор прямої. Пригадуючи геометричний зміст коефіцієнтів у рівнянні площини, записуємо вектор — перпендикулярний до першої площини, а — неперпендикулярний до другої.

Рис. 2.22

Напрямний вектор прямої перпендикулярний до обох цих векторів (рис. 2.22). Таким чином, . Використовуючи запис векторного добутку через визначник, дістаємо:

(2.33)

Для знаходження кута між двома прямими

і

візьмемо до уваги, що вектори і колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:

.

З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих

,

а умову паралельності двох прямих дістанемо як умову колінеарності напрямних векторів і :

.

Розглянемо ще задачу знаходження відстані від точки до прямої .

Рис. 2.23

Шукану відстань можна розглянути як довжину висоти паралелограма, побудованого на векторах і (рис. 2.23). Із підрозд. 2.1.3 відомо, що площа паралело-грама дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:

(2.34)

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

Нехай задано пряму і площину у просторі. Якщо

,

то пряма перпендикулярна до площини, а коли

,

пряма паралельна площині.

Нехай . Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до канонічного рівняння прямої

і підставимо значення х, у, z у рівняння площини:

Звідси, використовуючи умову непаралельності, знайдемо значення параметра

.

Координати точки перетину:

.

Знайдемо кут між площиною і прямою.

Рис. 2.24

Кут  між площиною і прямою дорівнює куту між прямою і її проекцією на площину (рис. 2.24). Вектор — перпендикулярний до площини, а кут , який він утворює з вектором , разом з  у сумі дорівнює 90. Тобто  +  = 90.

Знайдемо кут  як кут між двома векторами.

.

Якщо , то , а якщо , то , у будь-якому разі . Отже,

.

Поверхні другого порядку

Розглянемо геометричні образи алгебраїчних рівнянь другого порядку в просторовій декартовій системі координат.

Еліпсоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

(2.35)

називається еліпсоїдом.

Рис. 2.25

Для встановлення геометричного образу рівняння (2.35) скористаємось перерізами, паралельними площині . Кожен з наших перерізів визначається площиною , де — будь-яке число, а лінія, яка утворюється в перерізі, визначається системою рівнянь:

Дослідимо цю систему залежно від . Якщо > с, то, оскільки с > 0, дістаємо . У такому разі система рівнянь визначає уявний еліпс, тобто точок перетину еліпсоїда (2.35) з площиною не існує. Якщо , то лінія перетину вироджується в точки (0; 0; –с), (0, 0, –с), тобто площини дотикаються до еліпсоїда. Нарешті, якщо , то досліджувану систему рівняння можна подати у вигляді

Перше рівняння визначає еліпс, півосі якого змінюються залежно від . При у перетині еліпсоїда площиною маємо найбільший еліпс.

Таким чином, проведений аналіз дозволяє зобразити геометричний образ еліпсоїда як замкненої овальної поверхні (рис. 2.25).

Однопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням:

(2.36)

називається однопорожнинним гіперболоїдом.

Для встановлення геометричного образу цієї поверхні зробимо перерізи її координатними площинами і . Дістанемо дві системи

і

Рис. 2.26

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

При перетині гіперболоїда площиною дістанемо лінії, що визначають еліпси

Якщо маємо найменший еліпс при перетині гіперболоїда площиною , якщо h необмежено зростає, то півосі еліпса зростають до нескінченності. Однопорожнинний гіперболоїд зображено на рис. 2.26.

Двопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

, (2.37)

називається двопорожнинним гіперболоїдом.

При перерізі його координатними площинами Оxz i Oyz дістанемо рівняння:

і

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

Розглянемо перерізи гіперболоїда площинами дослідивши систему:

Аналіз цих рівнянь показує, що при лінії перетину немає, при площина дотикається до гіперболоїда, при лінією перетину буде еліпс. Вигляд поверхні зображено на рис. 2.27.

Рис. 2.27

Рис. 2.28

Еліптичний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

(2.38)

називається еліптичним параболоїдом.

При перетині еліптичного параболоїда координатними площинами дістанемо лінії, що записуються рівняннями

і ,

з яких випливає, що ці лінії — параболи.

При перерізах параболоїда площинами маємо:

, що відповідає еліпсам при Еліптичний параболоїд зображено на рис. 2.28.

Гіперболічний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

(2.39)

називається гіперболічним параболоїдом.

Встановимо геометричний вигляд поверхні (2.39). У перетині параболоїда координатною площиною маємо тобто в перетині дістаємо параболу. Її вітки спрямовані вгору, вона симетрична відносно осі . У перетині параболоїда площинами також утворюються параболи

Якщо січні площини мають рівняння , то маємо і вітки парабол перетину площини з параболоїдом спрямовані вниз, а їхні вершини розміщені на параболах

Розглянемо, нарешті, перетини параболоїда площинами . Нехай маємо

Із цих рівнянь випливає, що при у перетині дістанемо гіперболи, що перетинають площину , а при — гіперболи, що перетинають площину . З аналізу ліній перетину гіперболічного параболоїда відповідними площинами випливає, що він має вигляд, зображений на рис. 2.29.

Рис. 2.29

Рис. 2.30

Конус другого порядку. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат описується рівнянням називається конусом другого порядку.

У перетині поверхні площинами і одержуємо пари прямих, які є твірними конічної поверхні.

Якщо розглянути перетини поверхні площинами , томаєм тобто еліпси.

Аналіз перетинів дає змогу побудувати поверхню, зображену на рис. 2.30.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве