WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінії на площині - Реферат

Лінії на площині - Реферат

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, де b2 = c2 – a2.

Рис. 2.17

Дослідимо здобуте рівняння. Гіпербола не перетинає вісь Оу. При у = 0;х =  а і точки (–а, 0); (а, 0) — точ-ки перетину з віссю Ох. Розглянемо ще рівняння прямих , які далі називатимемо асимптотами гіперболи. Враховуючи симетрію відносно осей Ох і Оу, будуємо графік гіперболи, який зображено на рис. 2.17.

Відрізки завдовжки b і а називають відповідно уявною і дійсною осями гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи , але с > a і  >1. Беручи до уваги, що с2 = а2 + b2, дістаємо: , або .

З останньої рівності випливає, що для гіперболи ексцентриситет характеризує ступінь нахилу віток гіперболи до осі Ох.

Дві прямі, рівняння яких , називаються директрисами еліпса і гіперболи. Для еліпса і відношення , директриси еліпса — це дві прямі, що розміщені симетрично відносно осі Оу і проходять зовні еліпса. Для гіперболи  > 1 і відношення . Тобто директриси гіперболи розміщені симетрично відносно осі Оу і лежать між вітками гіперболи.

Для еліпса і гіперболи можна сформулювати важливе твердження: якщо r — відстань від деякої точки еліпса або гіперболи до будь-якого фокуса, а d — відстань від цієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення стале й дорівнює ексцентриситету, тобто .

Розглянуте твердження можна покласти в основу означення цих ліній.

Означення. Множина точок, для яких відношення відстаней від фокуса і до відповідної директриси — величина стала, що дорівнює ексцентриситету , є еліпс, якщо  < 1, і гіпербола, якщо  > 1.

Рис. 2.18

Парабола. Означення. Множина точок площини, що містяться на однаковій відстані від даної точки фокусаі даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою, є парабола.

За означенням r = d, отже (див. рис. 2.18):

або у2 = 2рх

— канонічне рівняння параболи, коли  = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат. Її графік подано на рис. 2.18.

Рис. 2.19

Коло. До кривих другого порядку належить і добре відома лінія, яка називається колом (рис. 2.19).

Означення. Множина точок, що містяться на однаковій відстані від заданої точки — центра, називається колом. За означенням ОМ = R або .

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо:

(ха)2 + (уb)2 = R2 (2.21)

— канонічне рівняння кола. Тут (а, b) — координати центра кола, R — його радіус. Розкривши дужки в лівій частині (2.21), дістанемо, очевидно, рівняння другого степеня, тобто коло — також крива другого порядку.

2.2.4. Дослідження загального рівняннякривої другого порядку

У попередньому підрозділі знайдено рівняння ліній другого порядку в канонічному вигляді. Покажемо, як із загального рівняння кривої другого порядку

а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0 (2.22)

дістати канонічне рівняння і визначити тип ліній.

Зробимо заміну змінних за формулами:

, .

Якщо координати нового центра визначаються за формулами:

, де ,

то в рівнянні (2.22) зникають лінійні відносно х і у члени і воно набирає вигляду

(2.23)

Якщо , то лінія другого порядку називається центральною кривою. Тут

, а12 = а21, а31 = а13, а32 = а23 .

Нехай , . Зведемо рівняння (2.23) до канонічного вигляду. Для цього позбудемося члена, який містить добуток . Скористаємось ще одним переходом до нової системи координат , яка утворюється поворотом системи координат на деякий кут . З рівняння (2.3), наведеного на с. 77, маємо:

Підставивши значення у (2.23), дістанемо:

,

де

,

,

.

Виберемо такий кут повороту осей , щоб виконувалась умова

(а11 – а22) sin 2 = 2a12 cos 2 .

Якщо а11 = а22, то сos 2 = 0, . Якщо а11  а22, то

. (2.24)

Підставивши значення  (24) у вирази для і , дістанемо канонічну форму рівняння кривої другого порядку:

.

Остаточно здобуті результати можна звести в таблицю:

Еліпс (дійсний або уявний)

Уявні прямі, що перетинаються в дійсній точці

Парабола

Паралельні прямі (дійсні, уявні або такі, що збігаються)

Гіпербола

Дійсні прямі, що перетинаються

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве