WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінії на площині - Реферат

Лінії на площині - Реферат

Реферат на тему:

Лінії на площині

Означення. Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням деякої лінії в заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

2.2.1. Пряма лінія на площині

Рис. 2.14

Нехай задано деяку пряму (рис. 2.14), знайдемо її рівняння.

Точка М (х, у) лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова

.

Позначимо tg  = k і назвемо цю величину кутовим коефіцієнтом прямої лінії. Тоді, враховуючи, що NM = yb, BN = x, маємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b. (2.14)

Нехай деяка точка М1 (х1, у1) належить заданій прямій, тоді у1 = kx1 + b. Знайдемо з цього рівняння значення b і, підставивши його в рівняння прямої (2.14), дістанемо:

уу1 = k (хх1) (2.15)

рівняння прямої, що проходить через задану точкуМ1 (х1, у1).

Нехай ще одна точка М2 (х2, у2) також належить заданій прямій, тоді з означення лінії маємо:

у2 – у1 = k (x2 – x1).

Знайдемо значення k з останнього співвідношення і, підставивши його в рівняння прямої (2.15), дістанемо:

. (2.16)

Останнє рівняння (2.16) називається рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого степеня відносно х і у.

Ах + Ву + С = 0, (2.17)

і навпаки, рівняння (2.17) при довільних А, В, С (А і В одночасно не дорівнюють нулю) визначає деяку пряму в прямокутній системі координат Оху.

Рівняння (2.17) називається загальним рівнянням прямої лінії. Дослідимо це рівняння.

1. С = 0, А  0, В  0, тоді Ах + Ву = 0 і останнє визначає пряму, що проходить через початок системи координат, бо точка О (0, 0) лежить на цій прямій.

2. В = 0, А  0, С  0, тоді Ах + С = 0, або , де а — довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама вона розміщена паралельно осі Оу, якщо С = 0, то х = 0 маємо рівняння самої осі Оу.

3. А = 0, В  0, С  0, тоді Ву + С = 0, або , де b — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох, при с = 0 маємоу = 0 — рівняння осі Ох.

2.2.2. Кут між двома прямими,відстань від точки до прямої

Розглянемо дві прямі l1: у = k1x + b1 і l2: y = k2 x + b2.

Означення.Кутом між прямимl1 і l2 називається такий кут , поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Рис. 2.15

Зауважимо, що кут між l1 і l2 не дорівнює куту між l2 і l1. Пригадуючи, що tg 1 = k1; tg 2 = k2, а також, що виконується очевидне співвідношення між кутами  = 2 – 1 (рис. 2.15), маємо: . Остаточно

. (2.18)

Якщо кут  — це кут між l1 і l2, то кут між l2 і l1 дорівнюватиме  – .

З формули (2.18) легко дістати умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Так, коли l1 // l2, кут  між ними дорівнює нулю — маємо:

tg  = 0  k1 = k2.

Якщо l1  l2,

.

Підставляючи значення кутових коефіцієнтів, маємо:

.

Нехай задано деяку точку М0 (х0, у0) і пряму l: Ах + Ву + С = 0. Пересвідчимось, що М0 не лежить на прямій, Ах0 + Ву0 + С  0, тоді відстань від точкиМ0 (х0, у0) до прямоїАх + Ву + С = 0 можна знайти за формулою:

.

2.2.3. Криві другого порядку

Розглянемо тепер лінії другого порядку, які на площині в загальному випадку можна записати так:

а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0. (2.19)

Рівняння (2.19) описує всі криві другого порядку в загальному випадку. Спинимось спочатку на простіших, так званих канонічних рівняннях ліній другого порядку.

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що дорівнює 2а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

Рис. 2.16

На рис. 2.16 зображено F1 (–c, 0),F2 (c, 0) — фокуси еліпса, М (х, у) — точка множини, яка задовольняє означення, тобто причому 2с < < 2aa > c.

Тоді

(2.20)

канонічне рівняння еліпса, де b2 = а2 – с2.

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять в рівняння (2.20). Якщо х = 0, у =  b, тобто точки (0, b) і (0, – b) є точками перетину еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса. При у = 0, х =  а і відповідно (а, 0);(– а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а — велика піввісь еліпса. З парності виразу (2.20) за х і за у випливає симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу. На рис. 2.16 зображено еліпс.

Ексцентриситет еліпса — це відношення ; за означенням с < a і [0, 1). Оскільки то . З останньої рівності випливає геометричний зміст ексцентриситету, який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягнутості еліпса. Так, при маємо коло, якщо  наближається до одиниці, то відношення довжини півосей еліпса стає малим, тобто еліпс витягується вздовж осі Ох.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Скористаємось рис. 2.17, з якого бачимо, що точки F1 (– c, 0) і F2 (c, 0) — фокуси гіперболи, точка М (х, у) — точка визначеної множини. Тоді .

Loading...

 
 

Цікаве