WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи векторної алгебри - Реферат

Елементи векторної алгебри - Реферат

Реферат на тему:

Елементи векторної алгебри

Системи координат

Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо систему координат на площині.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Осі Ох, Оу, Оz називаються відповідно осями абсцис, ординат і аплікат, точка Опочаток системи координат. Нехай М — довільна точка в просторі або на площині. Декартовими координатами x, y, z точки М називатимемо відповідно довжини ОА, ОВ, ОС напрямлених відрізків

Таким чином, кожній точці простору відповідає впорядкована трійка чисел (x, y, z), а на площині — впорядкована пара чисел (x, y), тобто встановлюється відповідність між геометричним образом — точкою і впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для розв'язування геометричних задач.

Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання довжин відрізків.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Полярними координатами точки М називаються числа  — відстань від полюса О до точки М і  — кут, на який треба по-вернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, проти годинникової стрілки.

Полярний радіус може змінюватись у межах < ∞, полярний кут, як правило, змінюється в межах <.

Зв'язок між полярними і декартовими координатами точки (рис. 2.4) встановлюють формули:

(2.1)

Приклад. Знайти полярні координати точки М (2, 2).

З формули (2.1) маємо , tg = 1. Згідно з останньою рівністю , або , але у = 2 > 0 і х = 2 > 0, маємо . У полярних координатах точка

Розглянемо такі перетворення систем координат:

1) паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку системи координат, а напрям осей залишається таким самим;

2) поворот осей, коли обидві осі повертаються на деякий кут відносно початку системи координат.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

1. Нехай точка М у старій системі координат Оху має координати (х, у), а в новій системі координат — . Знайдемо зв'язок між ними. З рис. 2.5 бачимо, що

, (2.2)

де (х0, у0) — декартові координати початку нової системи координат (точка О) у старій системі координат. Розв'язуючи рівняння (2.2) відносно і , маємо .

2. Повернемо тепер стару систему координат Оху відносно точки О на кут  і дістанемо нову систему Охy (рис. 2.6).

Розглянемо також дві полярні системи координат з полюсом у точці О і полярними осями Ох і Ох. Тоді згідно з рис. 2.6 маємо

.

Крім того,  =  + , підставляючи це значення у формули, остаточно будемо мати:

(2.3)

Розв'язуючи рівності (2.3) відносно дістаємо:

= х cos + y sin, = – х sin + y cos.

Здобуті формули відбивають зв'язок між старими (x, y) і новими координатами точки.

Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо , ... . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Рис. 2.7

Означення. Проекцією векторана вісьl називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь lпрl. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

прl= ,

де — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х1, у1, z1) і кінця В (х2, у2, z2) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох: ах = х2 – х1, Оу: ау = у2 – у1, Оz: аz = z2 – z1.

Довжина вектора подається формулою:

(2.4)

Якщо позначити , ,  — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

. (2.5)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4), дістанемо:

cos2 + cos2 + cos2 = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (ах + bх, ау + bу, аz + bz).

2. Множення вектора на число   R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема.Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема.При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відпо-відно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

(2.6)

Скалярний, векторнийі змішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де  — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. . 4. .

2. . 5. якщо і навпаки,

3. . якщо

.

Нехай вектори і задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

(2.7)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є ах bх + ау bу + аz bz = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора, де  — кут між двома век-торами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Рис. 2.8

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралело-грама, побудованого на векторах як на сто-ронах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

(2.8)

або

.

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

Рис. 2.9

Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (2.9)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або

.

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

Найпростіші задачі аналітичної геометрії

1. Відстань між двома точками.

Рис. 2.10

Нехай задано дві точки М1 (х1, у1) іМ2 (х2, у2) (рис. 2.10).

.

Трикутник М1М2K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

(2.10)

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Рис. 2.11

Число  — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М1М2 (рис. 2.11), якщо

.

Нехай задано  і координати точок і , треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

Оскільки числа хх1 і х2 – х одного й того самого знака (при х1 < х2 вони додатні, а при х1 > х2 — від'ємні), то . Отже, .

Звідси:

. (2.11)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у

. (2.12)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М1 М2, то = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:

.

3. Площа трикутника.

Рис. 2.12

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х1, у1), В (х2, у2), С (х3, у3) (рис. 2.12).

Знайдемо площу цього трикут-ника. З рисунка бачимо, що площу трикутника АВС можна знайти як . У правій частині формули стоять площі відповідних трапецій, які подаються формулами:

;

.

Підставивши знайдені площі у вираз для площі трикутника, дістанемо:

Записавши останній вираз у вигляді визначника, дістанемо остаточну формулу:

(2.13)

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве