WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → n-вимірний векторний простір - Реферат

n-вимірний векторний простір - Реферат

Реферат на тему:

n-вимірний векторний простір

Основні поняття

Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір Vn.

Елементами заданого таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами і записуватимемо: . Числа ai, i = 1, 2, 3, ..., n називаються компонентами вектора. Якщо розглянути ще один елемент простору Vn — вектор , то у просторі Vn можна виконувати такі дії.

Додавання двох векторів за правилом:

.

Множення вектора на число , за правилом:

.

Два вектори і вважаються рівними, якщо виконуються рівності . Роль нуля відіграє . З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:

Означення.Вектор називається лінійною комбінацією векторів, якщо існують такі числа , що .

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

. (1.16)

Якщо рівність (1.16) можлива лише в разі, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.

Постає запитання: а чи існують взагалі системи лінійно незалежних векторів? Розглянемо систему векторів в n-вимірному просторі Vn:

яку далі називатимемо одиничною системою векторів. Покажемо, що така система векторів лінійно незалежна. Для цього утворимо лінійну комбінацію: . Ліва частина цієї рівності є вектор . Звідси випливає, що всі .

Згодом побачимо, що у просторі Vn існує безліч лінійно незалежних систем векторів.

Сформулюємо таке важливе твердження.

Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів, ніж розмірність простору Vn, буде лінійно залежною.

Лінійно незалежна система n-вимірних векторів називається максимальною, або повною, лінійно незалежною системою, якщо в результаті додавання до неї будь-якого відмінного від n-вимірного вектора вона стає лінійно залежною.

З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система векторів у цьому просторі складається з n векторів.

Означення.Базисом векторного просторуVn називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так, систему векторів:

можна розглядати як базис простору V3.

Розглянемо дві системи векторів:

, (1.17)

. (1.18)

Система векторів (1.18) лінійно виражається через систему векторів (1.17), якщо кожний із них є лінійною комбінацією системи (1.17), тобто .

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять до будь-якої максимальної лінійно незалежної підсистеми даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв'язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, із компонентів векторів системи (1.17) утворити матрицю , то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і вказуватиме на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпців) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов'язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Зв'язок між базисами

Простір Vn має базис:

. (1.19)

Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежної системи векторів (1.19) випливає, що

, (1.20)

де хоча б одне з івідмінне від нуля.

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (1.20) — єдиний для вектора .

Нехай у просторі Vn задано два базиси:

(1.21)

. (1.22)

Кожен вектор нового базису (1.22) однозначно можна аналогічно (1.20) подати через базис (1.21) у вигляді

(1.23)

Означення. Матрицю , стовпцями якої є координати векторів нового базису (1.22) у старому базисі (1.21), називатимемо матрицею переходу від базису е до базису .

Якщо розглянути дві матриці е і , стовпцями яких є компоненти векторів відповідно старого е і нового базисів, то рівність (1.23) можна записати в матричному вигляді:

. (1.24)

Водночас, якщо — матриця переходу від базису (1.22) до базису (1.21), маємо рівність:

. (1.25)

Скориставшись (1.24) і (1.25), запишемо:

.

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного базису до іншого завжди є невиродженою матрицею, а кількість базисів у Vn дорівнює кількості невироджених квадратних матриць. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в Vn задано два базиси (1.21) і (1.22) з матрицею переходу . Зв'язок між координатами довільного вектора у цих двох базисах подається формулою:

. (1.26)

Помноживши рівність (1.26) зліва на матрицю , дістанемо:

, (1.27)

звідки можна визначити координати вектора в новому базисі .

Лінійні перетворення

Нехай задано векторний простір Vn і вектори і — деякі елементи цього простору.

Означення.Перетворення , яке переводить кожен вектор у деякий вектор , такий що , де вектор є образом вектора , називається лінійним, якщо виконуються властивості:

1. . 2. .

З означення випливає:

.

Нехай у просторі Vn задано деякий базис:

. (1.28)

Будь-який вектор у базисі (1.28) однозначно задається співвідношенням

. (1.29)

З координат векторів у базисі (1.28) можна побудувати квадратну матрицю , записавши координати векторів як стовпці матриці А, тоді рівність (1.29) у матричному вигляді запишеться так:

. (1.30)

Матриця А задає лінійне перетворення  у базисі (1.28). Якщо через позначимо рядок, складений з векторів бази, то з (1.29) і (1.30) випливає матрична рівність між лінійним перетворенням  і матрицею А в базисі е: . Знаючи матрицю А лінійного перетворення  в базисі (1.28), можна за координатами вектора в цьому базисі знайти координати його образу за формулою , якщо . Стовпець координат вектора (образу) дорівнює матриці А лінійного перетворення , помноженій справа на стовпець координат вектора . Якщо порівняти останню рівність з рівністю (1.26), очевидна повна їх аналогія, причому матриця Т була невиродженою.

Нехай маємо базиси і у просторі Vn з матрицею переходу Т, тобто

, (1.31)

і нехай лінійне перетворення  задається в цих базисах відповідно матрицями А і А.

. (1.32)

Остання рівність (1.32) з урахуванням (1.31) записується у вигляді . А проте . Тому, прирівнюючи праві частини, маємо: . Звідси на підставі лінійної незалежності базису і єдиності розкладу за базисом випливає: . Матриця Т невироджена. Отже, існує Т–1 і остаточно дістанемо співвідношення .

Зауважимо, що квадратні матриці В і С називаються подібними, якщо вони пов'язані рівністю , де Q — деяка невироджена квадратна матриця.

Таким чином, матриці, що задають одне й те саме лінійне перетворення в різних базисах, подібні між собою.

Нехай у просторі задано лінійні перетворення Назвемо сумою цих перетворень перетворення якщо

Добутком назвемо перетворення, для якого виконується рівність Нарешті, добутком лінійного перетворення φ на число є таке перетворення αφ, для якого

Легко показати, що перетворення є лінійними.

Нехай у базисі перетворення задаються відповідно матрицями , тобто

Тоді для векторів базису маємо:

Отже, можна стверджувати, що матриця суми і добутку лінійних перетворень дорівнює відповідно сумі і добутку матриць цих перетворень в одному й тому самому базисі. А операції з лінійними перетвореннями мають ті самі властивості, що й операції з матрицями.

Власні числа і власні вектори матриці

Нехай — деяка квадратна матриця розміру з дійсними елементами, — деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е — одинична матриця, називається характеристичною матрицею для матриці А:

.

Поліном n-го степеня називається характеристичним поліномом матриці А, а його корені — власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок. Лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна стверджувати, що лінійне перетворення характеризується набором власних чисел, які далі називатимемо спектром лінійного перетворення , або спектром матриціА.

Розглянемо лінійне перетворення  у просторі Vn, таке що переводить відмінний від нуля вектор у вектор, пропорційний до самого вектора :

(1.33)

Такий вектор називатимемо власним вектором перетворення , а — власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення , в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

Вважатимемо, що лінійне перетворення  має такий характеристичний поліном, що всі його корені дійсні і різні. Тобто, розв'язавши рівняння n-го порядку , знайдемо n різних дійсних коренів . Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення  дійсного лінійного простору Vn має простий спектр.

Кожному власному числу і відповідає певний власний вектор. Власних векторів у цьому разі буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів. Їх можна розглядати як базис Vn, в якому матриця лінійного перетворення A набирає найпростішого діагонального вигляду.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

  2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

  3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

  4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

  5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.

  8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

  9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

  10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

  11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Loading...

 
 

Цікаве