WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальна теорія систем лінійних рівнянь - Реферат

Загальна теорія систем лінійних рівнянь - Реферат

Реферат на тему:

Загальна теорія систем лінійних рівнянь

Теорема Кронекера—Капеллі

У загальному випадку перш ніж розв'язати систему рівнянь (1.1), важливо знати, чи існують її розв'язки, тобто чи буде вона сумісною. Щоб відповісти на це запитання, розглянемо дві матриці: головну матрицюА, складену з коефіцієнтів при невідомих системи рівнянь (1.1), і розширену матрицю, утворену приєднанням до матриці А стовпця вільних членів:

, .

Теорема Кронекера—Капеллі. Для того щоб система рівнянь (1.1) була сумісною (мала розв'язок), необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці А дорівнював рангу розширеної матриці :

З теореми випливає, що в матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, неодмінно існує мінор r-го порядку, відмінний від нуля, оскільки ранг цієї матриці дорівнює r.

Нехай, наприклад, це мінор, який складено з коефіцієнтів при перших r невідомих. Залишимо доданки з цими невідомими в лівій частині рівняння, а решту доданків перенесемо у праву частину. Усі рівняння системи (1.1) після r-го відкинемо. Тоді система рівнянь набере вигляду:

(1.8)

Невідомі змінні x1, x2, ..., xr називаються головними невідомими (змінними), а хr+1, xr+2, ..., xnвільними невідомими (змінними).

Головний визначник системи рівнянь (1.8) (мінор r-го порядку) відмінний від нуля. За правилом Крамера така система рівнянь має єдиний розв'язок відносно головних невідомих x1, x2, ..., xr.. Зрозуміло, що кожне з головних невідомих можна подати через вільні невідомі. Якщо вільним невідомим не надано конкретних числових значень, маємо так званий загальний розв'язок системи рівнянь (1.1). Надавши вільним невідомим деяких числових значень, дістанемо частинний розв'язок цієї системи. Зрозуміло, що частинних розв'язків системи в цьому разі безліч. Така система є сумісною, але невизначеною.

1.3.2. Системи лінійних однорідних рівнянь

Застосуємо здобуті результати для аналізу розв'язків однорідної системи рівнянь

(1.9)

З теореми Кронекера—Капеллі випливає, що система рівнянь (1.9) завжди сумісна: . Тривіальний розв'язок завжди існує. Розглянемо матрицю А, складену з коефіцієнтів при невідомих. Нехай її ранг дорівнює r. Якщо r = n, тосистема (1.9) має єдиний розв'язок, і він тривіальний. Якщо r < n, то система (1.9) має також розв'язки, відмінні від тривіальних.

Отже, можна сформулювати твердження: система однорідних лінійних рівнянь (1.9) має нетривіальні розв'язки тоді і тільки тоді, коли

Нехай ранг матриці системи рівнянь (1.9) r < n. Це означає, що матриця А має мінор r-го порядку, відмінний від нуля. Відповідно до загальної теорії систему рівнянь (1.9) можна переписати у вигляді:

(1.10)

Розглянемо визначник:

.

Узявши елементи i-го рядка цього визначника за вільні невідомі і підставивши ці значення в систему (1.10), дістанемо n – r розв'язків системи рівнянь (1.10) у вигляді , i = 1, 2,..., n – r. Така система розв'язків однорідної системи рівнянь (1.9) називається фундаментальною системою розв'язків.

Зауважимо, що будь-який розв'язок системи рівнянь (1.9) можна подати у вигляді лінійної комбінації фундаментальної системи розв'язків.

Метод Жордана—Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь

Цей метод пов'язаний із виключенням невідомих із системи рівнянь. Розглянемо систему:

(1.11)

Виключимо з усіх рівнянь, крім одного i-го, невідому xj, вважаючи, що коефіцієнт . Назвемо цей коефіцієнт розв'язувальним елементом. Поділивши почленно все i-те рівняння на aij, дістанемо:

(1.12)

Тепер помножимо рівняння (1.12) на –a1jі додамо до першого рівняння системи (1.11), далі помножимо на –а2j і додамо до другого рівняння системи і т. д. Після того як помножимо (1.12) на–amj і додамо до останнього рівняння системи, дістанемо:

(1.13)

У системі рівнянь (1.13) невідома xj входить тільки до і-го рівняння. Перепозначимо коефіцієнти при невідомих і праві частини системи (1.13) так: , ..., , ..., , .

Тоді система (1.13) набере вигляду:

(1.14)

Перехід від системи рівнянь (1.11) до системи рівнянь (1.14) називається кроком перетворення методу Жордана—Гаусса.

Розглянемо вираз для коефіцієнта bkl системи рівнянь (1.14) докладніше:

, (1.15)

Утворюється він за такою схемою:

Щоб знайти новий коефіцієнт, який міститься на перетині k-го рядка і l-го стовпця, будуємо визначник другого порядку з чотирьох елементів, які містяться на перетині i-го і k-го рядків та l-го і j-го стовпців і обчислюємо його. Поділивши здобуте значення визначника на розв'язувальний елемент aij, дістанемо новий коефіцієнт bkl. Зауважимо, що за наведеною схемою (на відміну від схеми для знаходження визначника другого порядку) добуток aijakl завжди береться зі знаком "+", де б не містилися ці елементи — на головній чи сторонній діагоналі визначника.

Вираз bkl спрощується, якщо aij=1. Отже, коли в рівнянні є коефіцієнти, що дорівнюють одиниці, їх доцільно брати за розв'язувальні елементи.

Якщо в початковій системі akj або ail дорівнює нулю, то bkl= akl.

Результат виконання одного кроку за методом Жордана—Гаусса зручно подати у вигляді таблиці:

x1

x2

x3

...

xj

...

xn

bi

contr

a11

a12

a13

...

a1j

...

a1n

b1

a12

а22

a23

...

a2j

...

a2n

b2

. ..

...

...

...

...

...

...

ai1

ai2

ai3

...

aij

...

ain

bi

...

...

...

...

...

...

...

...

am1

am2

am3

...

amj

...

amn

bm

b11

b12

b13

...

0

...

b1n

b1*

b21

b22

b23

...

0

...

b2n

b2*

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

...

bi*

...

...

...

...

...

...

...

...

bm1

bm2

bm3

...

0

...

bmn

bm*

Loading...

 
 

Цікаве