WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Теореми множення ймовірностей. Формула повної імовірності. Формула Баєса - Реферат

Теореми множення ймовірностей. Формула повної імовірності. Формула Баєса - Реферат

Реферат на тему:

Теореми множення ймовірностей. Формула повної імовірності. Формула Баєса

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.Імовірність одночасного настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(1)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою:

(2)

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність одночасного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї з них на умовну ймовірність другої:

(3)

Приклад. В одній урні містяться 4 білі і 8 чорних куль, в другій — 3 білі і 9 чорних. З кожної урни взяли по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

  • Нехай — поява білої кулі з першої урни, а — поява білої кулі з другої урни. Очевидно, що події і — незалежні. Знайдемо За формулою (1) дістаємо:

Приклад. В ящику містяться 12 деталей, з яких 8 стандартні. Робітник бере випадково одну за другою дві деталі. Знайти ймовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними.

  • Введемо такі позначення: — перша взята деталь стандартна; — друга взята деталь стандартна. Імовірність того, що перша деталь стандартна, становить Імовірність того, що друга взята деталь виявиться стандартною за умови, що була стандартною перша деталь, тобто умовна ймовірність події дорівнює

Імовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними, знаходимо за теоремою множення ймовірностей залежних подій:

Формула повної імовірності. Формула Баєса

Нехай події (гіпотези) утворюють повну групу подій і в разі настання кожної з них, наприклад подія може настати з деякою умовною ймовірністю Тоді ймовірність настання події дорівнює сумі добутків імовірності кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події :

(1)

де

Формула (1) називається формулою повної імовірності.

Нехай подія може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) які утворюють повну групу подій. Якщо подія вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Баєса (формула ймовірності гіпотез):

(2)

де — імовірність кожної з гіпотез після випробування, у результаті якого відбулася подія ; — умовна ймовірність події після настання події а — імовірність, обчислювана за формулою повної ймовірності (1).

Приклад. На склад надійшли деталі, виготовлені на трьох верстатах. На першому верстаті виготовлено 40 % всіх деталей, на другому — 35 % і на третьому 25 %, причому на першому верстаті було виготовлено 90 % деталей 1-го ґатунку, на другому — 80 % і на третьому — 70 %. Яка ймовірність того, що взята випадково деталь виявиться 1-го ґатунку?

  • Введемо такі позначення: — деталь виготовлено на першому верстаті, — на другому верстаті і — на третьому верстаті; подія — деталь виявилася 1-го ґатунку. З умови випливає, що і Таким чином,

Приклад. У першому ящику містяться 8 білих і 6 чорних куль, а другому — 10 білих і 4 чорних. Випадково вибирають ящик і кулю. Відомо, що вийнята куля — чорна. Знайти ймовірність того, що було взято перший ящик.

  • Введемо позначення: — було взято перший ящик; — було взято другий ящик; — при проведенні двох послідовних випробувань з вибору ящика і вибору кулі було взято чорну кулю. Тоді Імовірність витягти чорну кулю, якщо взято перший ящик, становить Імовірність витягти чорну кулю з другого ящика дорівнює

За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність того, що витягнута куля виявилася чорною:

Шукана ймовірність того, що чорну кулю було витягнуто з першого ящика, обчислюється за формулою Баєса:

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве