WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Показникова функція. Формули Ейлера. Гіперболічні функції. Логарифмічна функція. Обернені тригонометричні функції - Реферат

Показникова функція. Формули Ейлера. Гіперболічні функції. Логарифмічна функція. Обернені тригонометричні функції - Реферат

Реферат на тему:

Показникова функція. Формули Ейлера. Гіперболічні функції. Логарифмічна функція. Обернені тригонометричні функції

Найпростішою і водночас найважливішою є показникова функція при основі . Число називається числом Ейлера. Значення показникової функції еz можна знайти з розкладу її у степеневий ряд:

. (1)

Ряд (1) швидко збігається при достатньо малих значеннях . Якщо значення велике, то можна використовувати формулу

, (2)

з якої знаходимо рівність

,

придатну для обчислення при великих значеннях .

Значення показникової функції можна знайти за формулою:

. (3)

Зокрема, при з (3) випливає формула Ейлера:

. (4)

Значення показникової функції при довільному комплексному значенні аргументу знаходять за формулою

. (5)

Приклад.Обчислити е2 + 3і.

  • e2 + 3i = e2 e3i = e2(cos 3 + i sin 3) =

= – 7,315110095 + + i1,042743656. 

Замінюючи в (4) на , дістаємо таку формулу:

. (6)

Додаючи і віднімаючи почленно формули (4), (6), знаходимо інші формули Ейлера:

. (12)

Ці формули можна використовувати для виведення різних тригонометричних формул.

Приклад. З формул (7) дістаємо:

,

,

.

Аналогічно знаходимо:

,

,

.

Гіперболічні функції

У розрахунках часто застосовуються гіперболічні функції:

— гіперболічний косинус,

— гіперболічний синус,

— гіперболічний тангенс,

— гіперболічний котангенс.

Графіки гіперболічних функцій наведено на рис. 1 і 2.

Рис. 1

Рис. 2

Гіперболічний функції тісно пов'язані з тригонометричними функціями:

,

. (1)

Із цих формул дістаємо аналогічні залежності:

,

. (2)

Оскільки гіперболічні функції подаються через тригонометричні функції від суто уявного аргументу, то для гіперболічних функцій справджуються формули, аналогічні формулам для тригонометричних функцій.

У формулах для тригонометричних функцій

замінимо на , тоді дістанемо аналогічні формули для гіперболічних функцій:

.

За допомогою гіперболічних функцій можна знаходити значення тригонометричних функцій від комплексних аргументів:

.

Аналогічні формули виконуються для гіперболічних функцій від комплексного аргументу:

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція визначається з рівності

.

Узявши

,

з рівності

знайдемо :

.

Остаточно дістанемо аналітичні вирази для логарифмічної функції:

. (1)

Логарифмічна функція має нескінченну множину значень. Якщо — додатне дійсне число, то всі значення дійсні.

При обході навколо точки у додатному напрямі проти годинникової стрілки набуває додаткового доданка , а функція набуває додаткового доданка .

Приклад. Обчислити: .

  • Знайдемо . 

Логарифми від'ємних чисел існують і набувають нескінченної множини комплексних значень.

Приклад. Обчислити: 1) ; 2) .

  • ;

2) . 

Якщо , то для відшукання логарифмів можна використовувати розклад у степеневий ряд:

.

Із цього розкладу можна дістати такий ряд при :

(2)

Уміючи обчислювати логарифми можна визначити показникову функцію з довільною основою за формулою:

. (3)

Приклад. Знайти значення числа іі, якщо .

  • .

Зокрема, при маємо:

.

Приклад.Обчислити .

  • Знаходимо значення від'ємного числа в ірраціональному степені:

Знайдені значення всюди щільно лежать на одиничному колі. 

Аналогічно подаються значення степеневої функції за формулою:

(4)

Після обходу навколо початку координат степенева функція набуває додаткового множника . Якщо — ціле число, то і функція є однозначною.

Якщо , то степенева функція при обході навколо початку координат набуває додаткового множника і після обходів повертається до початкового значення, оскільки .

Функція — багатозначна і набуває різних значень, що відрізняються множником

.

Наприклад, функція після першого обходу навколо точки набуває значення , а після другого обходу знову набуває початкового значення .

Обернені тригонометричні функції

Знайдемо вираз для обернених тригонометричних функцій через логарифмічну функцію.

Функцію можна подати через розв'язок рівняння відносно . Згідно з формулою Ейлера (7) із підрозділу 17.5 знаходимо рівняння . У результаті заміни дістаємо квадратне рівняння:

, ,

, .

Остаточно маємо формулу

. (1)

Приклад. Обчислити значення функції .

Приклад. Обчислити значення функції .

Значення існує, але комплексне. 

Аналогічно знаходимо формулу для з рівняння , . Узявши , дістанемо рівняння або , звідки .

Остаточно маємо:

. (2)

Приклад. Обчислити значення функції .

Приклад. Обчислити значення функції .

Знайдемо аналітичний вираз для . З рівності визначаємо .

Маємо рівняння:

.

У результаті заміни дістаємо рівняння , звідки , .

Остаточно маємо:

. (3)

Приклад. Знайти .

  • .

Приклад. Обчислити значення функції .

  • .

Приклад. Обчислити значення функції .

Насамкінець зауважимо, що функції комплексних змінних мають властивості, які дають змогу обчислювати визначені інтеграли, розв'язувати задачі математичної фізики, знаходити конформні відображення.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве