WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа - Реферат

Комплексні числа - Реферат

Реферат на тему:

Комплексні числа

Походження комплексних чисел

Спочатку люди знали лише натуральні числа 1, 2, 3, ..., використовувані для лічби предметів. Під час розв'язування рівнянь першого степеня виду

виникли раціональні та від'ємні числа. Спочатку за використання від'ємних чисел у багатьох країнах призначалася смертна кара. Згодом було дано наочне пояснення від'ємних чисел. Кожному числу було поставлено у відповідність точку на числовій осі, причому додатним числам відповідали точки, розміщені на числовій осі праворуч від початку відліку, а від'ємним числам — точки, розміщені на числовій осі ліворуч від початку відліку.

Зі складними проблемами математики стикнулися при розв'язуванні квадратних рівнянь. Так, при розв'язуванні рівняння виду

постала потреба вводити ірраціональні числа. Доведення того факту, що число не можна подати раціональним дробом виду , де — натуральні числа, для багатьох математиків стало особистою трагедією.

При розв'язуванні рівняння

довелося ввести уявну одиницю . Числа виду стали називати комплексними. Квадратне рівняння

за умови

має комплексні розв'язки

.

Згодом було доведено, що не існує більш загальних чисел, ніж комплексні числа. Гаусс довів, що алгебраїчне рівняння будь-якого степеня n з комплексними коефіцієнтами

має рівно комплексних розв'язків.

Комплексні числа виду можна подавати точками на площині.

Комплексні числа набули загального поширення. Без них не можна було виконувати інженерні та економічні розрахунки, і тому комплексні числа ввійшли в шкільні програми для обов'язкового вивчення в усіх країнах світу.

Зауважимо, що всі функції, розглядувані в шкільному курсі математики, можна обчислити для комплексних значень аргументу. Дійсні числа є частинним випадком комплексних чисел.

Означення комплексних чисел

Число називається уявною одиницею. Справджується рівність .

Число виду , де — дійсні числа, називається комплексним числом.

Число називається дійсною частиною числа z. Число називається уявною частиною числа z.

Два комплексних числа

,

називаються рівними, якщо в них рівні відповідно дійсні і уявні частини, тобто .

Для комплексних чисел не має сенсу їх порівняння, а отже, не мають сенсу відношення "більше" та "менше".

Числа називаються комплексно-спряженими.

Комплексне число зображується точкою з координатами на площині , яку називають комплексною площиною (рис. 1).

Рис. 1

Вісь називається дійсною віссю, вісь називається уявною віссю. Комплексно-спряжені числа і містяться на комплексній площині симетрично відносно дійсної осі.

Приклад. Розв'язати квадратне рівняння

  • Дискримінант даного рівняння менший від нуля:

,

а отже, це рівняння не має дійсних розв'язків. Знаходимо комплексні розв'язки:

.

Ці розв'язки — комплексно-спряжені числа. 

Для визначення положення точки на комплексній площині скористаємося полярною системою координат (рис. 2).

Рис. 2

Полярний радіус називають модулем комплексного числа z і позначають .

Полярний кут називають аргументом комплексного числа z і позначають .

Згідно з рис. 2 маємо:

;

. (1)

Приклад. Дано комплексні числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Знайти модуль і аргумент кожного з цих чисел.

  • 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Тригонометричною формою комплексного числа називається запис числа у вигляді:

. (2)

При цьому маємо:

,

.

Приклад. Подати у тригонометричній формі такі комплексні числа: 1) 1 – і; 2) ; 3) 2і; 4) –3; 5) –4і; 6) 4 + 3і.

  • 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Застосуємо поняття модуля та аргументу комплексного числа для задання деяких ліній.

1. Рівняння задає коло одиничного радіуса із центром у початку координат (рис. 3).

Рис. 3

2. Рівняння задає коло з радіуса із центром у точці (рис. 4).

Рис. 4

3. Рівняння визначає промінь, що виходить із початку координат і утворює кут з віссю .

4. Рівняння визначає пряму .

Дії з комплексними числами

1. Додавання і віднімання. Якщо , то .

Додавання (віднімання) комплексних чисел аналогічне додаванню векторів :

.

Приклад..

2. Множення. При множенні комплексних чисел варто пам'ятати, що . Отже, маємо:

.

Приклад..

Добуток комплексно-спряжених чисел завжди являє собою дійсне невід'ємне число:

.

3. Ділення комплексних чисел. Якщо дільник с — дійсне число, то

.

Якщо дільник — комплексне число , то ділення записують у вигляді дробу і знаменник множать на комплексно-спряжене число:

.

Приклад..

4. Добування квадратного кореня. Шукаємо значення

.

Дістаємо систему алгебраїчних рівнянь:

.

Далі розв'язуємо таку систему рівнянь:

.

Потрібно врахувати, що . Якщо , то мають однакові знаки. Якщо , то мають різні знаки.

Остаточно знаходимо формулу:

.

Приклад. Розв'язати квадратне рівняння

.

  • Знаходимо дискримінант .

.

Розв'язуємо системи рівнянь:

.

Дістаємо нову систему рівнянь:

.

Остаточно знаходимо розв'язок:

.

Дії з комплексними числами у тригонометричній формі

1. Множення. Дано два комплексних числа

.

Знаходимо їхній добуток:

(1)

Отже, маємо правило: модуль добутку дорівнює добутку модулів співмножників; аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

2. Ділення. Як і раніше, дістаємо:

.

Отже, модуль відношення чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел; аргумент відношення дорівнює різниці аргументів чисельника і знаменника.

3. Піднесення до степеня. З формули (1) одержимо формулу

.

Зокрема, при формулу Муавра:

. (2)

Приклад. При формула (2) набирає вигляду:

.

Звідси знаходимо відомі формули:

.

При маємо

,

звідки дістаємо:

.

4. Добування кореня -го степеня. Запишемо таку рівність:

,

а далі піднесемо її до -го степеня:

,

звідки знаходимо .

Дістаємо формулу:

(3)

.

Усі значення коренів

містяться на колі радіуса .

Точки поділяють це коло на рівних частин.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Згідно з формулою (3) маємо:

.

У результаті знаходимо всі чотири розв'язки рівняння:

;

.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве