WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи аналітичної геометрії - Реферат

Елементи аналітичної геометрії - Реферат

Реферат на тему:

Елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія — розділ вищої математики, в якому геометричні образи (точки, лінії, поверхні) вивчаються за допомогою алгебраїчних методів.

Засновником аналітичної геометрії є французький математик і філософ Рене Декарт (1596—1650). Він розробив і вперше застосував метод координат, який дав змогу досліджувати геометричні залежності алгебраїчними методами. Із будь-якою лінією (чи поверхнею) співставляється її рівняння, а далі властивості цієї лінії (поверхні) вивчаються за допомогою аналітичного дослідження відповідного рівняння.

1. Метод координат

В основу методу координат покладено побудову системи координат. Таких систем існує багато. Ми ознайомимося з двома: прямокутною (чи декартовою) і полярною системами координат.

Відрізок, обмежений точками А і В, називається напрямленим, якщо вказано, яка з точок А і В вважається початком, а яка — кінцем відрізка.

Напрямлений відрізок з початком у точці А і кінцем у точці В позначимо і вважатимемо, що він напрямлений від початку до кінця.

Довжина напрямленого відрізка позначається так: або

Величиною АВ напрямленого відрізка називається число, яке дорівнює , якщо напрями відрізка і осі збігаються, і дорівнює — , якщо ці напрями протилежні.

Теорема 1 (основна тотожність).Для будь-яких трьох точок А, В і С на осі величина відрізка АС дорівнює сумі величин відрізків і :

(1)

Теорема 2. Для будь-яких двох точок і справджується рівність:

(2)

Приклад.Дано точки , , , . Знайти величини відрізків , і .

  • Згідно з формулою (2) дістаємо:

, , .

Координати на прямій. Числова пряма

Візьмемо довільну пряму і виберемо на ній напрям (тоді вона стане віссю), деяку точку О (початок координат) і одиницю масштабу для вимірювання довжин відрізків (рис. 1).

Пряма з вибраним напрямом, початком координат і одиницею масштабу називається координатною прямою.

Рис. 1

Нехай М — довільна точка на координатній прямій (див. рис. 1). Поставимо у відповідність точці М число х, що дорівнює величині ОМ відрізка : х = ОМ. Це означатиме, що точка М лежить на координатній прямій на відстані х одиниць масштабу від початку координат у додатному напрямі. Число х називається координатою точки М. З означення величини відрізка випливає, що коли напрям відрізка ОМ збігається з напрямом осі, то М міститься праворуч від О і координата х додатна; якщо напрям відрізка ОМ не збігається з напрямом осі, то М міститься ліворуч від О і координата х від'ємна; нарешті, якщо точка М збігається з точкою О, то координата х дорівнює нулю.

Той факт, що точка М має координату х, символічно записують так: М(х).

Отже, ми встановили відповідність між числами і точками координатної прямої: кожній точці відповідає певне число — її координата, і кожному числу — певна точка на координатній прямій; двом різним точкам відповідають два різних числа. Така відповідність у математиці називається взаємно однозначною.

Отже, числа можна зображувати точками координатної прямої, тому множину всіх чисел називають числовою прямою(абочисловою віссю), а будь-яке число — точкою цієї прямої.

Відстань між двома точками на прямій

Теорема 3.Якщо і — будь-які дві точки і — відстань між ними, то

Приклад. Дано точки і . Знайти відстань між ними, якщо і .

  • Згідно з теоремою 1 для значень і , дістаємо:

.

Прямокутна (декартова) система координат на площині

Дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу , що мають спільний початок О і однакову одиницю масштабу (рис. 2), утворюють прямокутну, або декартову,систему координат на площині.

Рис. 2

Вісь Ох називається віссю абсцис, а вісь Оувіссю ординат. Точка О перетину осей називається початком координат. Площина, в якій містяться осі Ох і Оу, називається координатною площиною і позначається Оху.

Нехай М — довільна точка площини. Опустимо з неї перпендикуляри МА і MB відповідно на осі Ох і Оу. Точки А і В перетину цих перпендикулярів з осями називаються проекціямиточки М на осі координат.

Точкам А і В відповідають певні числа х і у — їхні координати на осях Ох і Оу. Прямокутними координатами х і у точки М будемо називати відповідно величини ОА і ОВ напрямлених відрізків і : х = ОА, у = ОВ. Число х називається абсцисою точки М, число у — її ординатою.

Той факт, що точка М має координати х і у, символічно позначають так: М(х; у). При цьому першою в дужках вказують абсцису, а другою — ординату. Початок координат має координати (0; 0).

Таким чином, коли вибрано систему координат, кожній точці М площини відповідає пара чисел (х; у) — її прямокутних координат і, навпаки, кожній парі чисел (х; у) відповідає, причому лише одна, точка М на площині Оху,така що її абсциса дорівнює х, а ордината дорівнює у.

Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок площини і множиною пар чисел, що дає змогу при розв'язуванні геометричних задач застосовувати алгебраїчні методи.

Осі координат розбивають площину на чотири частини; їх називають чвертями,квадрантамиабо координатними кутами і нумерують римськими цифрами I, II, III, IV так, як показано на рис. 3 (на ньому подано також нерівності, що визначають знаки координат точок залежно від їхнього розміщення).

Рис. 9

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве