WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основи векторної алгебри - Реферат

Основи векторної алгебри - Реферат

Реферат на тему:

Основи векторної алгебри

Означення й основні властивості векторів

Відрізок, на якому заданий напрямок, тобто зазначений початок і кінець, називається вектором. Вектори позначаються , або , і т. д. (рис. 64). Модуль вектора — довжина відрізка АВ; — позначення. Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то такий вектор називається нульовим.

Вектори, що належать рівнобіжним чи прямим однієї прямої, називаються колінеарним (див. вектори , , на рис. 64).

Рис. 64

Два вектори називаються спів напрямленими, якщо вони колінеарні і їхні кінці знаходяться в одній на півплощині відносно прямої, що з'єднує їхній початку (вектори , с, на рис. 64).

Два вектори називаються рівними, якщо вони спів напрямлені і їхні модулі рівні.

Колінеарні вектори і , зображені на рис. 64, називаються проти направлені.

Множення вектора на число. Вектором називається вектор, колінеарний вектору , сонаправлений з в випадку, якщо k > 0, протинаправлений , якщо k < 0, і такий, що

На рис. 64 зображені вектори і .

Теорема 1. Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, якщо існує таке число k, що

Теорема 2. Від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному.

Сумою двох векторів і називається вектор (правило трикутника; рис. 65). Вектори можна також скласти за правилом паралелограма: сумою векторів і являється вектор , що є діагоналлю паралелограма ABCD.

Рис. 65

Зауваження. Від будь-якої точки площини можна відкласти вектор, рівний даному. Тому для того, щоб скласти два вектори, розташованих довільним образом, випливає від кінця одного з них відкласти вектор, рівний іншому, і скористатися правилом трикутника.

Вектор називається протилежним вектору . Різницею векторів і називається сума вектора а і вектора, протилежного вектору , тобто (див. рис. 65).

Теорема 3 (про одиничність розкладу вектора на площині). Нехай на площині дані два неколінеарних вектори і . Тоді будь-який третій вектор у цій площині можна єдиним образом представити у виді суми:

де х і у — числа, що називаються коефіцієнтами розкладання вектора по векторах і .

Лема. Якщо в Δ АВС точка D лежить на стороні АС і то

Задача. Нехай у Δ АВС точка N лежить на стороні ВС, а точка М — на стороні АВ, причому BN : ВР =1 : 5; AM : АВ = 1 : 5. Прямі AN і CM перетинаються в точці О. Знайдемо відносини СО : МС і АО : AN (рис. 66).

Рис. 66

Введемо вектори тоді (по лемме). Позначимо Тоді з Δ ACN по лемме будемо мати але вектори і колінеарні, відповідно, де Тому

Через те що одиничність розкладання вектора по неколінеарним векторах і маємо систему рівнянь:

рішення якої дає відповідь:

Скалярний добуток векторів, його властивості

Кутом між векторами називається кут між променями, на яких лежать ці вектори.

Скалярним добутком векторів і називається число, рівне добутку довжин цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:

(α — кут між і ).

Зауваження. Якщо і перпендикулярні, то .

Справедливі наступні властивості скалярного добутку'.

l) ;

2) ;

3) .

З визначення скалярного добутку векторів маємо

Векторний метод ефективно використовується при рішенні геометричних задач.

Нехай у прямокутному трикутнику АВСAD — бісектриса ВМ — медіана трикутника (рис. 67). Знайдемо кут між AD і ВМ, якщо АВ = 3, ВР = 4.

Рис. 67

По теоремі Піфагора одержимо По теоремі про бісектрису внутрішнього кута звідки Позначимо Тоді Тому що то

Знайдемо довжину вектора

Враховуючи, те що медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, одержимо

Обчислимо скалярний добуток:

Отже,

Задача. Знайдемо кут між діагоналлю АС1 і ребром AA1 паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 68), якщо відомо, що AA1 = AD = 2, АВ = 1,

Рис. 68

Введемо три вектори:

При цьому маємо

Вектор виражається через вектори , і дуже просто:

Тому:

Координати вектора

Якщо на площині задані два перпендикулярних (базисних) вектори і , таких, що то будь-який вектор площини можна єдиним образом представити у виді:

Величини ха і уа називаються координатамивектора . Використовується позначення

Відповідно, якщо в просторі задані три взаємно перпендикулярних вектори , і то будь-який вектор простору можна єдиним чином представити у вигляді:

де xa, ya, za — координати вектора . Позначення:

Властивості координат вектора:

1) Рівні вектори мають рівні координати, тобто якщо то xa = xb,ya = yb, za = zb.

2) При множенні вектора на число його координати перемножуються на те саме число, тобто якщо то xa = λxb, ya = λyb, za = λzb.

3) При додаванні векторів їхні координати складаються, тобто якщо то xc = xa + xb, yc = ya + yb, zc = za + zb.

4) Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів:

(1)

5) Модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат:

(2)

Якщо в просторі задані своїми координатами дві точки А(х0, y0, z0) і В(х1, y1, z1), то вектор має координати, рівні різниці відповідних координат початку і кінця вектора, тобто

Задача. Знайдемо координати точки D і кут між діагоналями паралелограма ABCD, якщо А(0, 1, –2), В(–1, 0, 3), С(2, 3, –1).

Нехай точка D має координати (х, у, z). Знайдемо координати векторів і :

Так як ABCD — паралелограм, то Звідси випливає, що х = 3,у – 1 = 3, z + 2 = –4, тобто х = 3, у = 4, z = –6. Знайдемо тепер координати діагоналей:

Використовуючи вираження (2) для довжини вектора і (1) для скалярного добутку векторів через його координати, маємо:

Векторний добуток

Векторним добутком двох векторів і називається вектор що задовольняє умовам:

1)

2) , α — кут між і ;

3) трійка , і має праву орієнтацію, тобто з кінця вектора поворот від вектора до вектора на найменший кут видний проти вартовий стрілки (рис. 69).

Рис. 69

Властивості векторного добутку:

1) Антикомінативність

2) Дистрибутивність

3) Асоціативність множення на скаляр

(4) Умова колінеарності двох векторів

Геометричний зміст векторного добутку

Площа паралелограма, побудованого на векторах і , дорівнює модулю їхнього векторного добутку (рис. 70):

Рис. 70

Площа трикутника, побудованого на векторах і , дорівнює половині модуля їхнього векторного добутку (рис. 71):

Рис. 71

Векторний добуток у координатах

Якщо вектори і задані своїми координатами і , то їхній векторний добуток має координати:

Замість приведеної громіздкої формули зручніше використовувати запис векторного добутку через визначник:

Тут — одиничні вектори прямокутної системи координат. Якщо розкрити визначник по першому рядку, то коефіцієнти при векторах будуть давати відповідні координати вектора

Задача. Знайдемо площу трикутника з вершинами в точках А(2, –4, 1), В(–2, 1, 3), C(l, –1, 2). Насамперед введемо вектори, що збігаються с двома сторонами трикутника АВС:

чи

Обчислимо векторний добуток цих векторів:

Тепер можна знайти площу трикутника АВС:

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве