WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основи геометрїї. Планиметрія - Реферат

Основи геометрїї. Планиметрія - Реферат

Дотичною називається пряма, що має з окружністю одну загальну точку (рис. 21). Січною називається пряма, що має дві загальні точки з окружністю.

Рис. 21

Хордою називається відрізок, що з'єднує дві точки кола. Діаметром називається хорда, що проходить через центр кола.

Теорема 1. Дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику. Обернена теорема: якщо пряма перпендикулярна радіусу в його кінці, що лежить на кола, то вона є дотичної (рис. 21).

Теорема 2. Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, що лежить поза окружністю, рівний (АВ = АС на рис. 21).

Теорема 3. Діаметр кола, перпендикулярний хорді, проходить через її середину.

Обернена теорема: якщо діаметр проходить через середину хорди, то він їй перпендикулярний. На рис. 22 АВ — хорда, MN — діаметр, АР = РВ.

Рис. 22

Кут з вершиною в центрі кола називається центральним. Центральний кут виміряється градусною мірою дуги, на яку він спирається (на рис. 23).

Кут, вершина якого знаходиться на кола, а сторони перетинають окружність, називається вписаним.

Теорема 4. Вписаний кут виміряється половиною дуги, на яку він спирається ( на рис. 23).

Рис. 23

Окремий випадок: кут між дотичною і січною, що проходить через точку дотику, виміряється половиною дуги, що відтинає січна ( на рис. 23).

Теорема 5 (про дві хорди). Якщо дві хорди перетинаються усередині кола, то добутку відрізків, на які кожна хорда розбивається точкою перетину, однакові (рис. 24), тобто

АЕЕС = BEED.

Теорема 6 (про квадрат дотичної). Квадрат довжини дотичної дорівнює добутку відрізків січної (рис. 26), тобто

АК2 = АВ – АС.

Рис. 26

Дотик кіл. Два кола можуть дотикатися як зовнішнім, так і внутрішнім чином (рис. 27).

Рис. 27

Теорема 7. Центри кіл, що дотикаються, і точка дотику знаходяться на однієї прямої (див. рис. 27).

Довжиною кола називається межа послідовності периметрів правильних уписаних у цю окружність багатокутників при необмеженому збільшенні числа їхніх сторін, а площею кругу — межа послідовності площ цих багатокутників.

Довжина кола дорівнює С = 2πR, а площа кругу S = πR2, де R — радіус кола, π = 3,14159... .

Визначні точки в трикутнику

Теорема 1. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що є центром кола, вписаної в трикутник (рис. 28).

Рис. 28

Теорема 2. Три серединних перпендикуляри, проведених до сторін трикутника, перетинаються в одній точці, що є центром кола, описаної біля трикутника (рис. 29).

Рис. 29

Теорема 3. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і поділяються нею у відношенні 2 : 1, вважаючи від вершини трикутника (рис. 30), тобто

АТ : OK = CO : OD = 2 : 1.

Рис. 30

Теорема 4. Три висоти трикутника або їхні продовження перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Пряма Ейлера. Точка перетину медіан, центр описаного кола й ортоцентр трикутника лежать на одній прямій, причому точка перетину медіан поділяє відрізок, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, у відношенні 2 : 1.

Задача. В рівнобедреному трикутнику АВС сторони відповідно рівні АВ =ВР= 5, АС = 6 (рис. 31). Знайдемо радіус описаного кола, радіус вписаного кола і відстань між їх центрами.

Рис. 31

Визначимо спочатку радіус R описаної кола. Врахуємо, що BD — висота, медіана і бісектриса Δ АВС. З Δ ВВС, по теоремі Піфагора, Центр описаної кола О розташований на BD; ОВ = ОС = R; OD = 4 – OB = 4 – R. По теоремі Піфагора для Δ OCD одержимо OD2 + CD2 = ОС2, тобто (4 – R)2 + 32 = R2. Рішення цього рівняння дає

Знайдемо тепер радіус r уписаної кола. Маємо: BD — бісектриса АВС; СО1 — бісектриса ВСА. Точка О1 — центр уписаної кола, O1D = r, ВО1 = 4 – r. По теоремі про бісектрису внутрішнього кута для Δ ВВС маємо відповідно,

Вирахуємо відстань між центрами окружностей: О1О = О1DOD = r – (4 – r) =

Теорема Морлі. Якщо в довільному трикутнику кожен кут розділити на три рівні частини, то точки перетинання їхніх променів, що поділяють, (рис. 32, а) виявляться вершинами рівностороннього трикутника. Тим же властивістю володіють і точки перетинання променів, що поділяють на рівні частини зовнішні кути довільного трикутника (рис. 32, б).

Рис. 32

Метричні теореми планіметрії. Формули площі трикутника

Теорема Піфагора. Якщо трикутник прямокутний, то сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:

а2 + b2 = c2,

де а = ВC, b = AC, c = АВ (рис. 33).

Рис. 33

Обернена теорема: якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, те цей трикутник прямокутний.

За допомогою теореми Піфагора доводяться наступні твердження.

1. У рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути рівні 45°, а відношення гіпотенузи до катета дорівнює

2. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Для прямокутного трикутника:

синус гострого кута (роздягнув 6, п. 2) дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;

косинус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;

тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до протилежного.

Таким чином, згідно рис. 33

Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними (рис. 34, а):

с2 = а2 + b2 – 2abcos γ.

Теорема синусів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута є величина постійна для даного трикутника, рівним двом радіусам описаної кола (рис. 34, а):

Задача. В трикутнику дані три сторони а, b, с. Знайдемо довжину медіани, проведеної до сторони а. Нехай ADC = φ, AD = ma — медіана Δ АВС (рис. 34, б). Маємо ADB = 180° – φ. Запишемо теорему косинусів для Δ ADC і Δ ADB:

Рис. 34

Склавши ці рівняння і враховуючи рівність cos (180° – φ) = –cos φ, будемо мати

Скорочуючи останні члени, після елементарних перетворень одержимо

Теорема. В будь-якому трикутнику сума квадратів медіан дорівнює суми квадратів сторін трикутника.

Формули для обчислення площі трикутника (див. рис. 34, a):

(1) (3)

(2) (4)

(5)

де ha — висота, опущена на сторону a; r — радіус уписаної кола; R — радіус описаної кола; р — на півпериметр. Формула (5) називається формулою Герона.

Зауваження. Якщо формула Герона дає занадто громіздке вираження, то площа можна обчислити по формулі (2), де

За допомогою метричних теорем і формул площі може бути вирішена будь-яка задача типу: "Дано три елементи трикутника, причому принаймні один є мірою довжини. Знайти будь-який інший елемент трикутника".

Задача. Дано три сторони трикутника: а, b, с (див. рис. 34). Знайдемо кут α, висоту ha, радіуси описаної (R) і вписаної (r) окружностей, площа S трикутника.

1) Маємо а2 = b2 + с2 – 2bccos α; відповідно,

2) З вираження (1) знаходимо Підставляючи сюди S з формули (5), одержимо

де

3) Використовуючи рівність (4), маємо де S обчислюється по формулі (5).

4) З вираження (3) одержимо де S визначається по формулі (5).

Приведемо ще ряд корисних метричних співвідношень у довільному трикутнику:

відстань між центрами уписаної й описаної окружностей

Площа чотирикутника

де d1 і d2 — довжини діагоналей чотирикутника; а — кут між ними.

Площа паралелограма

де γ — кут між суміжними сторонами а і b.

Площа трапеції

де а і b — підстави трапеції; h — її висота.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве