WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Зростання й спадання функцій - Реферат

Зростання й спадання функцій - Реферат

Реферат на тему:

Зростання й спадання функцій

Означення. Функція зростає на множині , якщо для будь-яких x1 і x2 з множині , таких, що x2> x1, виконується нерівність .

Означення. Функція спадає на множині , якщо для будь-яких x1 і x2 з множині , таких, що x2> x1, виконується нерівність .

Іншими словами, функція називається зростаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множині відповідає більше значення функції. Функція називається спадаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Екстремуми.

Означення. Околом точкиа називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтервал (2; 6) — один з околів точки 3, інтервал (–3,3; –2,7) — окол точки –3.

Означення. Точка x0 називається точкою мінімуму функціїf, якщо для всіх x з деякого околу x0 виконана нерівність (рис. 42).

Рис. 42

Означення. Точка x0 називається точкою максимуму функціїf, якщо для всіх x з деякого околу x0 виконана нерівність (рис. 43).

Рис. 43

За означенням значення функції в точці максимуму є найбільшим серед значень функції з деякої околу цієї точки, тому графік функції в околу , як правило, має вид гладкого "пагорба" (рис. 43, а і рис. 44 — точки x1, x2, x3) чи загостреної "піки" (рис. 43, б). В околу точки мінімуму графіки, як правило, зображуються у виді "западини", чи теж гладкої (рис. 42, б — точка , рис. 44 — точки x4, x5), чи загостреної (рис. 42, а — точка і рис. 44 — точка x6).

Рис. 44

Для точок максимуму і мінімуму функції прийнята загальна назва — їх називають точками екстремума. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції (загальна назва — екстремум функції). Точки максимуму позначають xmax, а точки мінімуму xmin. Значення функції в цих точках позначаються відповідно ymax і ymin.

Дослідження функцій

1. Побудова графіків функцій. В школі будували графіки функцій "по точках". У багатьох випадках цей метод дає гарні результати, якщо, звичайно, відзначити досить велике число точок. Однак при цьому приходиться складати великі таблиці значень функції, а головне, можна не помітити істотних особливостей функції й у підсумку помилитися при побудові графіка.

  • Для того щоб уникнути помилок, треба навчитися виявляти характерні риси функції, тобто попередньо провести її дослідження.

2. Схема дослідження функцій.

У загальному випадку дослідження передбачає рішення наступних задач:

1) Знайти області визначення і значень даної функції f.

2) З'ясувати, чи має функція особливости, що полегшують дослідження, тобто чи Є функція f: а) парної чи непарною; б) періодичної.

3) Обчислити координати точок перетину графіка з осями координат.

4) Знайти проміжки знакосталості функції f.

5) З'ясувати, на яких проміжках функція f зростає, а на яких спадає.

6) Знайти точки екстремума, вид екстремума (максимум чи мінімум) і обчислити значення f у цих точках.

7) Досліджувати поводження функції f в околу характерних точок, що не входять в область визначення (наприклад, точка x = 0 для функції ), і при великих (по модулі) значеннях, аргументу.

Вертикальні прямі, до яких необмежено наближається графік функції f (наприклад, пряма x = 0 для чи функції прямі для графіка функції, зображеного на рисунку 53), називають вертикальними асимптотами.

Найчастіше графік має вертикальну асимптоту x = a у випадку, якщо вираження, що задає дану функцію, має вид дробу, знаменник якої звертається в нуль у точці a, а чисельник немає. Наприклад, графік функції має вертикальну асимптоту x = 0. Для графіка функції вертикальними асимптотами є прямі , де .

Якщо графік функції необмежено наближається до деякої горизонтальній (у випадку функції це пряма , див. рис. 55) чи похилої (пряма для графіка функції , див. рис. 32) прямої при необмеженому зростанні (по модулі) x, то таку пряму називають горизонтальної (відповідно похилій) асимптотою.

3. "Читання" графіків. У більшості прикладів і задач на побудову графіків функцій ви зустрічалися з такою ситуацією: функція задана формулою, потрібно досліджувати її властивості і побудувати графік f. Представляє значний практичний інтерес інша задача: задан графік f, за допомогою якого потрібно перелічити основні властивості цієї функції.

Подібні задачі часто зважуються в ході експериментальних досліджень. Побудова графіків при цьому здійснюється різними методами. Наприклад, по точках, знайденим експериментально. Існують також численні прибори-самописи. Це, наприклад, осцилографи, на екранах яких електричні коливання перетворяться в наочні графічні зображення. Іншим прикладом приладу, що дозволяє одержати наочний графічний опис, служить кардіограф; "прочитуючи" отриману з його допомогою кардіограму, лікарі роблять висновки про стан серцевої діяльності.

З досить типовим прикладом труднощів, що виникають при дослідженні реальних процесів, для опису яких ще не створені точні теорії, ви можете познайомитися, розглянувши рисунок 56. Тут приведені графіки середньодобового ходу температур по Київський області в лютому 1994 р. Толстой лінією зображені "теоретичні криві" А и Б, що фіксують результати довгострокового прогнозу (оскільки прогноз дається з точністю до 5, кривих дві). "Читаючи" цей графік, ми знаходимо, наприклад, що передбачалися три "хвилі холоду" (у період з 4 по 10, з 17 по 19 і з 23 по 26 лютого). Передбачалася також відсутність відлиг і в цілому холодна (до –17 ... –22) погода. Однак у дійсності (графік фактичного ходу температур зображений тонкою лінією В) температура була вище норми на 5—10 (кліматична норма, що є результатом багаторічних спостережень, задана лінією Г), у період з 4 по 8 лютого було потеплення, а не похолодання і т.д. Ці й інші зведення про прогноз і реальну картину ви можете одержати, "читаючи" графіків, приведені на рисунку 56.

Рис. 56

Ознака зростання і спадання функції

Одна з основних задач дослідження функції — це знаходження проміжків її зростання й спадання. Таке дослідження легке провести за допомогою похідної. Сформулюємо відповідні твердження.

Достатня ознака зростання функції. Якщо в кожній точці інтервалу I, то функція зростає на I.

Достатня ознака спадання функції. Якщо в кожній точці інтервалу I, то функція спадає на I.

Приклад 3. Знайдемо проміжки зростання (спадання )функції

.

Функція визначена на всій числовій прямій. Похідна її така:

.

Оскільки , легко одержуємо, що для всіх дійсних . Це значить, що функція убуває на всій числовій прямій.

Критичні точки функції, максимуми і мінімуми

Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції. Ці точки відіграють важливу роль при побудові графіка функції, оскільки тільки вони можуть бути точками екстремуму функції (мал. 103 і 104). Сформулюємо відповідне твердження, його називають теоремою Ферма (на честь французького математика Пьера Ферма).

Необхідна умова екстремуму. Якщо точка x0 є точкою екстремуму функції й у цій точці існує похідна , то вона дорівнює нулю: .

Важливо відзначити, що теорема Ферма є лише необхідну умову екстремуму: з того, що похідна в точці звертається в нуль, необов'язково випливає, що в цій точці функція має екстремум. Наприклад, похідна функції звертається в нуль у точці 0, але екстремуму в цій точці функція не має (рис. 105).

Рис. 105

Дотепер ми розглядали критичні точки, у яких похідна дорівнює нулю. Розглянемо тепер критичні точки, у яких похідна не існує. (Відзначимо, що, наприклад, точка 0 для функції не є критичної: у ній похідна не існує, але вона не внутрішня точка області визначення.) У цих точках функція також може чи мати не мати екстремум.

З теореми Ферма випливає, що при знаходженні точок екстремумів функції потрібно в першу чергу знайти її критичні точки. Але, як видно з розглянутих прикладів, питання про тім, чи дійсно дана критична точка є точкою екстремуму, вимагає додаткового дослідження. При цьому часто допомагають такі достатні умови існування екстремуму в точці.

Ознака максимуму функції. Якщо функція неперервна в точці , а на інтервалі на інтервалі , то точка є точкою максимуму функції .

Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:

Якщо в точці похідна змінює знак із плюса на мінус, тобто точка максимуму.

Ознака мінімуму функції. Якщо функція неперервна в точці , а на інтервалі на інтервалі , то точка є точкою мінімуму функції .

Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:

Якщо в точці похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто точка мінімуму.

Приклад 3. Знайдемо точки екстремуму функції .

Похідна цієї функції, рівна , визначена у всіх точках і звертається в нуль у точках –1 і 1. У точці –1 похідна змінює знак з мінуса на плюс (при і при ). У точці 1 похідна змінює знак із плюса на мінус. Користаючись ознаками максимуму і мінімуму, одержуємо, що точка –1 є точкою мінімуму, а точка 1 — точкою максимуму функції . Графік функції зображений на рисунку 108.

Рис. 108

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве