WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій - Реферат

Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій - Реферат

Реферат на тему:

Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій

1. Парні і непарні функції. Розглянемо функції, області визначення яких симетричні відносно початку координат, тобто для будь-якого x з області визначення число (–x) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні і непарні.

Означення. Функція f називається парної, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = f (x) (рис. 14.14).

Рис. 14.14

Означення. Функція f називається непарної, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = –f (x) (рис. 14.15).

Рис. 14.15

Приклад 1. Функція парна, а функція непарна. Дійсно, область визначення кожної з них (це вся числова пряма) симетрична щодо точки О и для будь-якого x виконані рівності , . Графіки функцій зображені на рисунках 14.16 і 14.17.

Рис. 14.16 Рис. 14.17

При побудові графіків парних і непарних функцій будемо користатися наступними відомими з курсу алгебри властивостями:

10. Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

20. Графік непарної функції симетричний і відносно початку координат.

З цих двох правил випливає наступне: при побудові графіка парної чи непарної функції досить побудувати його частина для ненегативних x, а потім відбити отриманий графік щодо осі ординат (у випадку парної функції) чи початку координат (у випадку непарної).

Приклад 2. Функція непарна .Її графік симетричний відносно початку координат (рис. 14.18).

Рис. 14.18 Рис. 14.19

Основні тригонометричні функції синус, тангенс і котангенс є непарними, а косинус — парною функцією .Тому графіки синуса, тангенса і котангенса симетричні відносно початки координат, а графік косинуса симетричний щодо осі ординат.

Приклад 3. Функція парна, тому що її область визначення симетрична щодо точки x = 0 (вона складається з усіх чисел, відмінних від –1, 0 і 1) і для усіх виконана рівність

.

Графік цієї функції симетричний щодо осі Оy (рис. 14.19).

Приклад 4. Функція не є ні парної, ні непарної. Її область визначення симетрична щодо точки 0, але, наприклад, при не виконано ні рівність , ні рівність , оскільки , а .

14.7. Періодичні функції. Дуже багато процесів і явищ, з якими ми зустрічаємося на практиці, мають повторюваний характер. Так, взаємне розташування Сонця і Землі повторюється через рік. Положення маятника в моменти часу, що відрізняються на період коливання маятника, однакові.

Такого роду процеси називають періодичними, а функції, їхній що описують, — періодичними функціями.

Відомі вам основні тригонометричні функції — періодичні. Так для будь-якого числа x і будь-якого цілого k виконана рівність . Звідси випливає, що — період функції синус ( — довільне ціле число).

Узагалі, говорячи про періодичність функції f, думають, що мається таке число , що область визначення разом з кожною точкою x містить і точки, що виходять з x рівнобіжними переносами уздовж осі Ox (вправо і вліво) на відстань T. Функцію f називають періодичної з періодом , якщо для будь-якого x з області визначення значення цієї функції в точках x, xT і x + T рівні, тобто .

Оскільки синус і косинус визначені на всій числовій прямій і , для кожного , синус і косинус — періодичні функції з періодом .

Тангенс і котангенс — періодичні функції з періодом . Справді, області визначення цих функцій разом з кожним містять числа й і вірні рівності , .

Очевидно, що якщо функція f періодична з періодом T, те при будь-якім цілому число теж період цієї функції. Наприклад, при , скориставшись кілька разів визначенням періодичної функції, знаходимо:

.

Запам"ятаємо, що:

а) найменший додатний період функцій і дорівнює ;

б) найменшим додатним періодом функцій і є число .

Періодичністю основних тригонометричних функцій ми уже фактично користалися раніше, при побудові графіків. Справедливо наступне твердження:

Для побудови графіка періодичної функції з періодом досить провести побудова на відрізку довжиною і потім отриманий графік паралельно перенести на відстані вправо і вліво уздовж осі (рис. 34, тут — будь-яке натуральне число).

Рис. 14.20

Приклад 5. Побудуємо графік функції .

► Для побудови скористаємося тим, що функція періодична з періодом . Дійсно, функція визначена на всієї прямої, і, виходить, разом з довільною точкою її область визначення містить точки, що виходять з рівнобіжними переносами уздовж осі вправо і вліво на . Крім того, унаслідок періодичності косинуса . Користаючись властивістю графіків періодичних функцій, будуємо графік спочатку на відрізку (для цього відповідно до відомих правил перетворення графіків розтягуємо графік косинуса уздовж осі в 2 рази і зрушуємо його на 1 нагору (рис. 14.21), а потім за допомогою паралельних переносів продовжуємо його на всю числову пряму (рис. 14.22).

Рис.14.21

Рис. 14.22

Приклад 6. Доведемо, що функція періодична і її найменший додатний період дорівнює . Тангенс визначений при всіх значеннях аргументу, не рівних , . Тому область визначення даної функції складається з таких , що , тобто . Звідси випливає, що поряд з довільним містить і всі точки виду , . Очевидно, що число є періодом , тому що . Залишається довести, що число — найменший додатний період . Допустимо, що періодом є таке число , що . Тоді для будь-якого справедливо рівність

,

оскільки — період . Але це означає, що — період функції . По припущенню , тобто . Протиріччя з доведеним раніше: найменший додатний період тангенса дорівнює .

Аналогічно доводиться загальне твердження:

Якщо функція періодична і має період , то функція , де і постійні, а , також періодична, причому її період дорівнює .

З того твердження відразу одержуємо, що, наприклад, періодом функції є число , а період функції дорівнює .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве