WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функції і їх графіки - Реферат

Функції і їх графіки - Реферат

Перетворення графіків.

Ми маємо певний запас функцій, графіки яких вміємо будувати— це функції Покажемо, що, застосовуючи відомі з курсу геометрії зведення про перетворення фігур, цей список можна істотно розширити.

1) Розглянемо спочатку паралельний перенос на вектор (0; b) уздовж осі ординат. Позначаючи тут і далі через координати точки, у яку переходить довільна точка (x; y) площини при даному перетворенні, одержимо відомі вам формули

(14.1)

Нехай f — довільна функція з областю визначення D(f). З'ясуємо, у яку фігуру переходить графік цієї функції при даному переносі. З формул (14.1) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f(x) + b), де

По означенню графіка функції ця фігура є графіком функції y = f(x) + b. Сказане дозволяє сформулювати правило:

Для побудови графіка функції f(x) + b, де b — постійне число, треба перенести графік f на вектор (0; b) уздовж осі ординат.

Приклад 2. Побудуємо графіки функцій: а) y = sin x + 2; б) y = x2 – 5.

а) Відповідно до правила переносимо графік функції y = sin x на вектор (0; 2), тобто нагору по осі Oy на 2 одиниці (мал. 14.3).

б) Побудова здійснюється переносом параболи y = x2 на вектор (0; –5), тобто вниз по осі Oy (мал. 14.4).

2) Ще одним перетворенням є розтягання уздовж осі Oy з коефіцієнтом k, що задається формулами

Для побудови точки M′, у яку переходить дана точка M при розтяганні, треба побудувати на прямій АМ, де А — проекція М на вісь Ox (мал. 14.5), точку, гомотетичну М щодо центра А (коефіцієнт гомотетії дорівнює коефіцієнту k розтягання). На рисунку 14.6 показана побудова точок, у які переходять дані при розтяганнях з коефіцієнтами і –2.

З'ясуємо, у яку фігуру переходить графік функції f при розтяганні. З формул (14.2) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f (x)) графіка f переходить у точку (x; kf (x)). Звідси випливає, що графік f переходить у фігуру, що складається з усіх точок (x; kf (x)), де x D(f). Ця фігура є графіком функції y =kf (x). Доведено наступне правило:

Для побудови графіка функції y = kf (x) треба розтягти графік функції y = f (x) у k раз уздовж осі ординат.

Приклад 3. Побудуємо графіки функцій y = –2 x2 і

Побудова здійснюється в першому випадку з графіка функції y = x2 (рис. 14.7), а в другому випадку спочатку будуємо графік функції , потім скористаємося розтяганням уздовж осі ординат з коефіцієнтом (рис. 14.8).

Зауваження. Якщо то розтягання з коефіцієнтом k часто називають стиском. Наприклад, розтягання з коефіцієнтом називають стиском у 2 рази. Відзначимо також, що якщо те для побудови графіка функції y =kf (x) треба спочатку розтягти графіка f у раз, а потім відбити його симетрично щодо осі абсцис (див. рис. 14.7).

Рис. 14.8

3) Паралельний перенос уздовж осі абсцис на вектор (a; 0) задається формулами

(14.3)

Кожна точка графіка функції f переходить відповідно до формул (14.3) у точку (x + a; f (x)). Тому за допомогою перемінних , можна записати, що графік f переходить у фігуру Ф, що складається з точок де приймає всі значення виду x + a (x "пробігає" D(f)).

Саме при цих значеннях число x – a належить D(f) і визначено. Отже, фігура Ф є графік функції y = f (x – a). Отже, можна зробити висновок:

Графік функції y = f (x – a) виходить із графіка f переносом (уздовж осі абсцис) на вектор (a; 0).

Зверніть увагу: якщо , то вектор (a; 0) спрямований у позитивному напрямку осі абсцис, а при — у негативному.

Приклад 4. Побудова графіків функцій і показано на рисунках 14.9 і 14.10.

Рис. 14.9

Рис. 14.10

4) Розтягнення уздовж осі Ох з коефіцієнтом k задається формулами

(14.4)

Довільна точка графіка функції f переходить при такомум розтяганні в точку (kx; f (x)). Переходячи до перемінних , , можна записати, що графік y = f (x) переходить у фігуру, що складається з точок де приймає всі значення виду , а .

Ця фігура є графік функції . Отже:

Для побудови графіка функції треба піддати графік функції f розтяганню з коефіцієнтом k уздовж осі абсцис.

Приклад 5. Побудова графіків функцій і показано на рисунках 14.11 і 14.12.

Рис. 24

Рис. 25

14.5. Відображення. Функцію з областю визначення D і областю значень E називають також відображенням множини D на множину E. Можна сказати, наприклад, що формула задає відображення множини R дійсних чисел на відрізок [–1; 1]. Слова "функція" і "відображення" — синоніми.

Нерідко розглядають функції (відображення), область чи визначення область значень яких (а можливо, і обоє цих множини) не є числовими множинами.

Поняття відображення часто відносять до числа основних понять математики. З його допомогою можна дати таке означення функції:

Функцією з областю визначення D і областю значень E називається відображення множини D на множину E, при якому кожному елементу множини D відповідає один цілком визначений елемент множини E і кожен елемент множини E поставлений у відповідність хоча б одному елементу множини D.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве