WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Похідна та її застосування - Реферат

Похідна та її застосування - Реферат

Аналогічно, похідною n-го порядку f (n) функції f (х) за індукцією називається похідна функції f (n-1), якщо вона існує і диференційовна.

Іноді замість позначення f (n)(х) застосовують символ або Dny, Dnf(x).

Для функції f(x) = х4 + 2х3 + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

f (x) = 4х3 + 6х2 + 1, f(x) = 12х2 + 12х, f (3)(x) = 24х + 12, f (4)(x) = 24, f (n)(x) = 0 для n  5. 

Правила знаходження похідних n-го порядку

На похідні n-го порядку легко поширюються правила, розглянуті в підрозд. 5.1.3.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n-го порядку від добутку двох функцій u(x) та v(x). Для того щоб вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому:

Вираз (u + v)n потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені(u0 = v0), що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

.

Це є формула Лейбніца.

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

Задано функцію . Знайти її похідну у(n).

,

або

.

Механічний та геометричний зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f(x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань S і час t — фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + t тіло пройшло шлях s + s = f(t + t).

Тоді s = f(t + t) – f(t).

Означення.

Середня швидкість

Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою

.

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Означен ня.

Миттєва швидкість

Миттєвою швидкість тіла, що рухається вздовж лінії s = f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t:

.

Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

 За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

. 

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f(x), графік якої наведено на рис. 5.1. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута , утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та х + х, із додатним напрямом вісі Ох.

Якщо приріст х  0, то точка В прямує до точки А, а кут  —до кута , утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

. (10)

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осіОх.

Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х2 у точках М1(; ), М2(–1; 1) (рис. 5.6.).

Рис. 5.6

 Згідно з (10) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо: .

Отже,

Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 5.7). Візьмемо на кривій точку М(х1, у1) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Означення. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 5.7

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт kнорм пов'язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точціМ (х1, у1):

Написати рівняння дотичної та нормалі до кривоїу = х3 у точці М(1; 1).

 Оскільки у = 3х2, то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 5.8).

Рис. 5.8

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве